zad.3.1
Objętośc kuli
V=\frac{4}{3}\pi r^3
r = 6cm : 2 = 3cm
V_1=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 27=12\pi=36\cdot 3,14=113,04[cm^3] objętość kuli
objętosć sześcianu
V_2=a^2\cdot H
20^2\cdot H=113,04
H=113,04 : 400\approx0,3[cm]
zad.3.2
V=\pir^2\cdot H=\pi\cdot 8^2\cdot 12= 768[cm^3] całkowita objętość metalu
V=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot H
r = 4cm
H = 3cm
wystarczy podstawić do wzoru i obliczyć V jednego stożka.
Nastepnie V metalu podzielić przez V stożka. Wynik jest odpowiedzią.
zad.3.3
V_1+V_2=\frac{4}{3}\pi \cdot 1,5^2+\frac{4}{3}\pi \cdot 5^2=...cm^3 objętość powstałej 1 kuli
Z wzoru na objetość kuli obliczamy promień kuli i podstawiamy do wzoru na pole kuli.
zad.3.4
pole podstawy
P_p=16\pi
\pi r^2=16\pi -----|:\pi
r^2=16
r=4 promień stożka
-----
V=\frac{1}{3}P_p\cdot H
Wysokość H dzieli kąt rozwarcia na pół a płaszczyznę przekroju na 2 trójkąty prostokątne o miarach kątów 30,60,90 stopni.
Boki trójkata to promień podstawy r i wysokość H (przyprostokatne) oraz tworząca stożka l.
120^\circ : 2 = 60^\circ
Naprzeciwko kąta 30^\circ leży H, czyli:
l=2H
z twierdzenia Pitagorasa:
r^2+H^2=l^2
r^2+H^2=(2H)^2
r^2+H^2=4H^2
3H^2=r^2
H^2=\frac{r^2}{3}
H^2=\frac{4^2}{3}
H=\sqrt{\frac{16}{3}}=\frac{4}{\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{3}
V=P_p\cdot H
V=16\pi \cdot \frac{4\sqrt3}{3}=... <-- odpowiedź
-----
\pi = 3,14
\sqrt3=1,73
zad.3.5
\pi r^2=144\pi -----|:\pi
r^2=144
r=\sqrt{144}=12
Trójkąt prostokątny:
r=(przyprostokątna)=12
R=(przeciwprostokątna)=13
x = (II przyprostokatna)=?
z twierdzenia Pitagorasa:
r^2+x^2=R^2
12^2+x^2=13^2
x^2=169-144
x^2=25
x=\sqrt{25}
x = 5 <-- odpowiedź
zad.3.7
Rozpatrujemy trójkąt prostątny: promień stożka ®, H-wysokość stożka i tworzącą stożka l.
Naprzeciwko kata 30^\circ leży H, więc:
l=2H=2\cdot 4=8[cm]
z twierdz. Pitagorasa:
r^2+H^2=l^2
r^2=l^2-H^2=8^2-4^2=64-16=48
r=\sqrt{48}=4\sqrt3[cm] promień stożka
V=\frac{1}{3} \pi r^2\cdot H=\frac{\pi \cdot (4\sqrt3)^2 \cdot 4}{3}=64\pi[cm^3]
-----
l_1=2H_1=2\cdot {4}{2}=4[cm] tworząca mniejszego stożka
z twierdzenia Pitagorasa:
r_1^2=l_1^2-H_1^2
r_1^2=4^2-2^2=16-4
r_1^2=12
r_1=\sqrt{12}
r_1=2\sqrt3
V_1=\frac{1}{3} \pi r_1^2\cdot H_1=\\frac{pi \cdot (2\sqrt3})^2\cdot 4}{3}=16\pi[cm^3]
\frac{V_1}{V}=\frac{16\pi}{64\pi}=\frac{1}{4}
**stosunek objętości = 1 : 4
zad.3.9
Czworościan składa sie z 4 trójkątów równobocznych.
Wysokości przecinaja się w stosunku 2:3, więc:
h=\frac{a^2\sqrt3}{4} wzór na wysokość trójkata równobocznego
h=\frac{3^2\sqrt3}{4}=\frac{9\sqrt3}{4}
Z twierdzenia Pitagorasa:
(\frac{2}{3}h)^2+H^2=a^
(\frac{2}{3}\cdot \frac{9\sqrt2})^2+H^2=3^2
(\frac{3\sqrt3}{2})^2+H^2=9
\frac{9\cdot 3}{4}+H^2=9 |*4
27+4H^2=36
4H^2=36-27
4H^2=9
H=\sqrt{\frac{9}{4}}
H=\frac{3}{2}
H = 1,5