Zadanie 16
rozwiązanie
http://pracadomowa24.pl/zadanie/39179-pierwszy-wyraz-ciagu-arytymetycznego-jest-rowny-3-a-trzeci-jest-o-8-wiekszy/
Zadanie 18
Dane są trzy początkowe wyrazy ciągu geometrycznego (a_n). Dopisz trzy kolejne wyrazy tego ciągu i wyznacz jego wzór ogólny
b) 27,18,12
27*q=18 i 18*q=12
q=\frac{18}{27} i q=\frac{12}{18}
q=\frac{2}{3} i q=\frac{2}{3}
q=2/3
a_3=12
a_4=12*q=\not12^4*\frac{2}{\not3^1}=4*2=8
a_5=a_4*q=8*\frac{2}{3}=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}
a_6=a_5*q=\frac{16}{3}*\frac{2}{3}=\frac{32}{9}=3\frac{5}{9}
a_n=a_1*q^{n-1} wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
a_n=27*(\frac{2}{3})^{n-1}
c)
\sqrt3-\sqrt2,1, \sqrt3+\sqrt2
(\sqrt3-\sqrt2)*q=1
q=\frac{1}{\sqrt3-\sqrt2}=\frac{\sqrt3+\sqrt2}{(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)}=\frac{\sqrt3+\sqrt2}{3-2}=\sqrt3+\sqrt2 iloraz ciągu geometrycznego
a_4=(\sqrt3+\sqrt2)*q=(\sqrt3+\sqrt2)*(\sqrt3+\sqrt2)=
(\sqrt3+\sqrt2)^2=3+2\sqrt6+2=5+2\sqrt6
---------------
a_5=(5+2\sqrt6)(\sqrt3+\sqrt2)=5\sqrt3+5\sqrt2+2\sqrt{18}+2\sqrt{12}=
5\sqrt3+5\sqrt2+2*3\sqrt2+2*2\sqrt3=9\sqrt3+11\sqrt2
---------------
a_6=(9\sqrt3+11\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)=9*3+9\sqrt6+11\sqrt6+11*2=27+22+20\sqrt6=49+20\sqrt6
a_n=a_1*q^{n-1} wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
a_n=(\sqrt3-\sqrt2)*(\sqrt3+\sqrt2)^{n-1}=(\sqrt3-\sqrt2)*(\sqrt3+\sqrt2)^n*(\sqrt3+\sqrt2)^{-1}=(\sqrt3-\sqrt2)*(\sqrt3+\sqrt2)^n*\frac{1}{\sqrt3+\sqrt2}=(\sqrt3-\sqrt2)*(\sqrt3+\sqrt2)^n*(\sqrt3-\sqrt2)=
a_n=(\sqrt3-\sqrt2)^2*(\sqrt3+\sqrt2)^n <-- odpowiedź
dodatkowe obliczenia:
\frac{1}{\sqrt3+\sqrt2}=\frac{\sqrt3-\sqrt2}{(\sqrt3+\sqrt2)*(\sqrt3-\sqrt2)}=\frac{\sqrt3-\sqrt2}{3-2}=\sqrt3-\sqrt2