a,b,c - krawędzie prostopadłościanu - kolejne wyrazy ciagu założenie a,b,c\in \mathbb R^+
d - przekątna
D =\sqrt{84} - przekątna prostopadłościanu
V = abc= 64cm^3
P_c=?
-
d^2=a^2+b^2
i
d^2+c^2=c^2
a^2+b^2+c^2=(\sqrt{84})^2
a^2+b^2+c^2=84 (1)
2)
b^2=ac z własności ciągu geometrycznego (2)
3)
abc=64 (3)
Rozwiązanie układu 3 równań
a^2+b^2+c^2=84 (1)
b^2=ac (2)
abc=64 (3)
…
a^2+b^2+c^2=84
b^2=ac
(ac)b=64\Rightarrow b^2\cdot b=64\Rightarrow b^3=64\Rightarrow b=4
…
a^2+4^2+c^2=84
4^2=ac\Rightarrow ac=16
ac\cdot 4=64 \Rightarrow ac=16\Rightarrow c=\frac{16}{a}
…
a^2+16+(\frac{16}{a})^2=84 \ |-84
a^2-68+\frac{256}{a^2}=0
a^2=t zmienna pomocnicza , założenie
t>0
t-68+\frac{256}{t}=0 \ |*t
t^2-68t+256=0
a=1, b=-68, c=256
\Delta=b^2-4ac=4624-4\cdot 1\cdot 256=3600
\sqrt\Delta=60
t_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{68-60}{2\cdot 1}=4
t_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{68+60}{2\cdot 1}=64
a^2=t
a=\sqrt{4}\vee a=\sqrt{64}
a=2\vee a=8
dla a=2
c=\frac{16}{a}=\frac{16}{2}=8
dla a=8
c=\frac{16}{a}=\frac{16}{8}=2
ciąg geometryczny:2,4,8 lub 8,4,2
Krawędzie prostopadłościanu: 2cm, 4cm, 8cm lub 8cm, 4cm, 2cm
P_c=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)
dla a,b,c odpowiednio 2cm, 4cm, 8cm
P_{c}=2(2\cdot 4+2\cdot 8+4\cdot 8)=2(8+16+32)=2\cdot 56=112\ cm^2
dla a,b,c odpowiednio 8cm, 4cm, 2cm
P_{c}=2(8\cdot 4+8\cdot 2+4\cdot 2)=2\cdot 56=112 \ cm^2
Odpowiedź:
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu równa się 112\ cm^2.