\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}*\frac{(\sqrt2x+y)(y-\sqrt2x)+3x(x+\frac{2}{3}y)}{2xy}=
=\frac{1}{\frac{y+x}{xy}}*\frac{y^2-2x^2+3x^3+2xy}{2xy}=
=\frac{xy}{x+y}*\frac{x^2+2xy+y^2}{2xy}=
=\frac{1}{x+y}*\frac{(x+y)^2}{2}=\frac{x+y}{2}
Założenie
x\neq0
y\neq0