\frac{mx}{m-1} + \frac{m+1}{x} = x+1 , założenie m\ne 1 , x\ne 0
\frac{mx}{m-1} + \frac{m+1}{x} -x-1=0
\frac{mx^2+(m+1)(m-1)-x^2(m-1)-x(m-1)}{x(m-1)}=0 , założenie m\ne 0
mx^2+m^2-1-mx^2+x^2-mx+x=0
x^2-mx+x+m^2-1=0
x^2-(m-1)x+m^2-1=0
a=1 \ , \ b=-(m-1) \ , \ c=m^2-1
1).
\Delta>0 żeby były 2 pierwiastki
b^2-4ac>0
[-(m-1)]^2-4\cdot1 \cdot (m^2-1)>0
(m-1)^2-4m^2+4>0
(m-1)^2-4(m^2-1)>0
(m-1)(m-1)-4(m-1)(m+1)>0
(m-1)[(m-1)-4(m+1)]>0
(m-1)(m-1-4m-4)>0
(m-1)(-3m-5)>0
-3(m-1)(m+\frac{5}{3})>0
a(m-m_1)(m-m_2)=0 , a<0 ramiona paraboli w dół
m_1=1 , m_2=-\frac{5}{3} miejsca zerowe
m \in (-\frac{5}{3};1) , (1)
2).
z wzorami Viete’a
\frac{1}{x^1}+\frac{1}{x^2}<2m+1
L<P
L=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac{b}{\not{a}} \cdot \frac{\not{a}}{c}=-\frac{b}{c}=
=\frac{-[-(m-1)]}{m^2-1}=\frac{m-1}{(m-1)(m+1)}=\frac{1}{m+1}
stąd
\frac{1}{m+1}<2m+1
\frac{1}{m+1}-2m-1<0
\frac{1-2m(m+1)-(m+1)}{m+1}<0
\frac{1-2m^2-2m-m-1}{m+1}<0
\frac{-2m^2-3m}{m+1}<0
(-2m^2-3m)(m+1)<0
-2m(m+\frac{3}{2})(m+1)<0 \ |:(-2) zmiana znaku
m(m+\frac{3}{2})(m+1)>0
m=0 , m=-\frac{3}{2} \ , \ m=-1 miejsca zerowe
m \in (-\frac{3}{2}\ ; -1) \cup (0;+\infty) (2)
m> -3/2 , m<-1 , m>0 , m<1
Po uwzględnieniu (1) i (2)
m\in (-\frac{3}{2};-1) \cup (0,1)