Ciąg określany jest wzorem
a_n=-2n+5
a) Oblicz pierwszy, trzeci i dwunasty wyraz tego ciągu:
n = 1
podstawiam do wzoru
a_1=-2*1+5=-2+5=3 pierwszy wyraz ciągu
…
n = 3
a_3=-2*3+5=-6+5=-1 trzeci wyraz ciągu
…
n = 12
a_{12}=-2*12+5=-24+5=-19
b)
Suma ilu początkowych wyrazów ciągu jest równa -140?
Najpierw trzeba sprawdzić, czy jest to ciąg arytmetyczny:
a_{n+1}-a_n=r stała różnica ciągu
a_n=-2n+5
a_{n+1}=-2(n+1)+5=-2n-2+5=-2n+3
r=-2n+3-(-2n+5)=-2n+3+2n-5=-2
r=-2 różnica ciągu arytmetycznego
zgadza się, bo np. a_3=a_1+2r=3+2*(-2)=3-4=-1
Ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu:
S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
\frac{a_1+a_n}{2}*n=-140 |podstawiam dane: a_1=3 i a_n=-2n+5
\frac{3+(-2n+5)*n}{2}=-140 |*2
(3-2n+5)n=-280
(-2n+8)n=-280
-2n^2+8n+280=0 |:(-2)
n^2-4n -140=0 , założenie: n>0
rozwiązanie równania kwadratowego ax^2+bx+c=0 - wzór ogólny
a = 1 , b = -4 , c = -140
\Delta=b^2-4ac=(-4)^2=4*1*(-140)=16+560=576
\sqrt\Delta=24 |delta większa od zera - równanie ma rozwiązania
n_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{4-24}{2}=-10 n<0 nie spełnia założenia-odrzucamy
n_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{4+24}{2}=14
sprawdzenie:
n=14
a_n=a_{14}=-2n+5=-2*14+5=-23
S_{14}=\frac{a_1+a_n}{2}*n=\frac{3+(-23}{2}*14=-20*7=-140
Odpowiedź: czternastu