Przy kątach rzędu 1 minuty czy 1 sekundy kątowej można spokojnie przybliżyć
prostoliniowy odcinek przez fragment łuku.
Niech okrąg ma promień "r" (ten promień będziemy obliczać).
Wtedy cały obwód okręgu, równy 2 \pi r, odpowiada 360^o, więc:
1^o odpowiada \frac{1}{360} * 2\pi r = (\frac{1}{180}) \pi r długości łuku:
1 minuta (czyli (\frac{1}{60})^o ) odpowiada:
(\frac{1}{60}) * (\frac{1}{180}) \pi r = (\frac{1 }{ 10800}) \pi r długości łuku
1 sekunda (czyli$ \frac{1}{60}$ minuty) odpowiada:
(\frac{1}{60}) * (\frac{1 }{ 10800}) \pi r = (\frac{1}{ 648000}) \pi r długości łuku
Teraz możemy liczyć zadanie (czyli odległości "r" znając długości łuku).
a)
Oznaczamy L = 1 m, liczymy r gdy kąt wynosi 1 sekundę:
L = (\frac{1 }{ 648000}) \pi r ; stąd:
r = \frac{648000 L}{ \pi} = \frac{648000 * 1 }{\pi} \approx 206265 m \approx 206 km
Odpowiedź: Odległość w jakiej należy pręt o długości 1 metra, aby był widoczny pod kątem jednej sekundy łuku wynosi 206km.
b)
Oznaczamy L = 24 mm, liczymy r gdy kąt wynosi 1 minutę:
L = (\frac{1 }{ 10800}) \pi r ; stąd, po zamianie: 24 mm = 0,024 m
r = \frac{10800 L }{ \pi} = \frac{10800 * 0,024 }{ \pi} \approx 82,5 m
Odpowiedź: Odległość, w której należy monetę pięciozłotową (o średnicy 24mm), aby była widoczna pod kątem jednej minuty łuku wynosi 82,5m.