Narysuj trójkąt prostokątny ABC, gdzie A jest wierzchołkiem kąta prostego. Przez punkt D oznacz punkt przecięcia wysokości z przeciwprostokątną BC.
Wiadomo, że środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym znajduje się dokładnie w polowie przeciwprostokątnej i jego promień wynosi
R=\frac{|BC|}{2}.
Z treści zadania wynika że przyprostokątne mają długości:
|AC|=a
|AB|=2a
Obliczmy dł. przeciwprostokątnej z tw. Pitagorasa:
a^2+(2a)^2=|BC|^2
|BC|=a\sqrt{5}
Zatem R=\frac{a\sqrt{5}}{2}
Trójkąt ABD jest podobny do trójkata BCA (cech kąt kąt)
Zatem prawdziwy jest warunek
\frac{|AB|}{|CB|}=\frac{|AD|}{|AC|}
\frac{2a}{a\sqrt{5}}=\frac{h}{a}
Stąd
2a^2=ah\sqrt{5} dzielimy przez $a\sqrt{5}
h=\frac{2\sqrt{5}a}{5}
Obliczamy
\frac{R}{h}=\frac{\frac{a\sqrt{5}}{2}}{\frac{2\sqrt{5}a}{5}}=\frac{5}{4}