{n\choose 2}+{n+1\choose 2}=n^2
- Uzasadnienie kombinatoryczne
kombinacje bez powtórzeń
{n\choose 2} wybieramy 2 elementy ze zbioru n-elementowego \frac{n\cdot (n-1)}{2} na tyle sposobów
{n+1\choose 2} wybieramy 2 elementy ze zbioru n+1-elementowego \frac{(n+1)\cdot (n+1-1)}{2}=\frac{(n+1)\cdot n}{2} na tyle sposobów
W jednym działaniu
{\frac{n\cdot (n-1)}{2}+\frac{(n+1)\cdot (n+1-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}+\frac{(n+1)\cdot n}{2}=\frac{n^2-n+n^2+n}{2}=\frac{2n^2}{2}=n^2}
co było do udowodnienia
- Uzasadnienie algebraiczne
{{n\choose 2}+{n+1\choose 2}=\frac{(n-2)!\cdot (n-1)\cdot n}{(n-2)!\cdot 2!}+\frac{(n-1)!\cdot n\cdot (n+1)}{(n+1-2)!\cdot 2!}=\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}=}
\frac{n^2-n+n^2+n}{2}=\frac{2n^2}{2}=n^2 c.b.d.u.