Zadanie 10
a)
x^2\geq 16
x^2-16\geq 0
x^2-4^2\geq 0 wzór skróconego mnożenia a^2-b^2=(a-b)(a+b)
(x-4)(x+4)=0
x=4 , x=-4
x_1=-4 , x_2=4
x\in (-\infty;-4\rangle \cup \langle 4;+\infty)
b)
3x^2<9x
3x^2-9x<0 \ |:3 a=3 ramiona paraboli skierowane w górę
x^2-3x<0
x(x-3)<0
x=0 , x-3=0
x_1=0 , x_2=3
x\in (0,3)
c)
x^2+1>0 nierówność prawdziwa dla dowolnej liczby \mathbb R
Cała parabola leży nad osią x.
x\in \mathhbb R
d)
(2x-5)(3x+6)\leq 0 , 2x * 3x = 6x^2 a=6 ramiona paraboli w górę
2x-5=0 , 3x+6=0
2x=5 , 3x=6 \ |:3
x=2,5 , x=-2
x_1=-2 , x_2=2,5 miejsca zerowe
x\in \langle -2;\ 2,5\rangle
e)
(3-5x)x>0 , x\cdot (-5x)=-5x^2 \Rightarrow a=-5 ramiona paraboli w dół
3-5x=0
-5x=-3
x=\frac{3}{5}
lub
x=0
x\in (0;\frac{3}{5})
f)
9x^2+12x+4>0
(3x+2)^2>0
3x+2=0
3x=-2
x_0=-\frac{2}{3} pierwiastek dwukrotny
Wierzchołek paraboli leży na osi x i ramiona skierowane w górę.
x\in (-\infty;-\frac{2}{3})\cup (-\frac{2}{3};+\infty)
g)
4x^2+1\leq 4x
4x^2-4x+1\leq0 wzór skróconego mnożenia (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(2x-1)^2\leq 0
2x-1=0
x_0=\frac{1}{2} pierwiastek dwukrotny
Wierzchołek paraboli leży na osi OX, a=4 - ramiona skierowane w górę
x=\frac{1}{2}
h)
2x^2-12x+10>0 \ |:2
x^2-6x+5>0
-6x=-5x-x
x^2-5x-x+5>0
a=1 ramiona paraboli w górę
x(x-5)-(x-5)>0
(x-5)(x-1)>0
x=5 , x=1
x_1=1 , x_2=5 miejsca zerowe
x\in (-\infty;1)\cup (5;+\infty)
i)
x^2+2\sqrt3x-24\leq 0
a=1, b=2\sqrt3, c=-24 , a>0
ramiona paraboli w górę
\Delta=(2\sqrt3)^2-4\cdot1 \cdot (-24)=4*3+96=108
\sqrt\Delta=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt3
x_1=\frac{-2\sqrt3-6\sqrt3}{2\cdot 1}=\frac{-8\sqrt3}{2}=-4\sqrt3
x_2=\frac{-2\sqrt3+6\sqrt3}{2\cdot 1}=\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3
x_1=-4\sqrt3 , x_2=2\sqrt3 miejsca zerowe
x\geq-4\sqrt3 , x\leq2\sqrt3
x\in\langle -4\sqrt3;2\sqrt3\rangle