12x^3 - 8x^2 - x + 1 = 0
Możliwe rozwiązania wymierne:
\pm 1, \ \pm\frac{1}{2}, \ \pm\frac{1}{3}, \ \pm \frac{1}{4}, \ \pm \frac{1}{6}, \ \pm \frac{1}{12}
W(-1)=12\cdot (-1)^3-8\cdot (-1)^2-(-1)+1=-12-8+1+1=-18\ne 0
W(1)=12-8-1+1=4\ne 0
Brak pierwiastków całkowitych.
{W(\frac{1}{2})=12\cdot (\frac{1}{2})^3-8\cdot (\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}+1=\not12^3\cdot \frac{1}{\not8^2}-\not8^2\cdot \frac{1}{\not4^1}-\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}-2-0,5+1=1,5-2-0,5+1=0}
Liczba \frac{1}{2} jest pierwiastkiem wielomianu, zatem wielomian jest podzielny przez dwumian
(x-\frac{1}{2})
a=\frac{1}{2}
Schemat Hornera
|12 |-8 |-2 |1 |
|12 |-2 |-2 |0 | współczynniki wielomianu o 1 stopień niższego
\frac{1}{2}\cdot 12-8=-2
\frac{1}{2}\cdot (-2)-2=-2
\frac{1}{2}\cdot (-2)+1=0
(x-\frac{1}{2})(12x^2-2x-2)=0
12x^2-2x-2=0 \ |:2
6x^2-x-1=0
a=6, b=-1, c=1
\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 6\cdot 1=25
\sqrt\Delta=5
x_1=\frac{1-5}{2\cdot 6}=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3}
x_2=\frac{1+5}{2\cdot 6}=\frac{6}{2\cdot 6}=\frac{1}{2}
Odpowiedź:
x_1=-\frac{1}{3}
x_2=\frac{1}{2} pierwiastek 2-krotny
12x^3 - 8x^2 - x + 1 = (x-\frac{1}{2})^2(x+\frac{1}{3})