Korzystam z definicji ciągu arytmetycznego.
Ciąg jest arytmetyczny jeżeli różnica a_{n+1}-a_n jest stała, niezależna od n.
a)
a_n=3n-1
a_{n+1}=3(n+1)-1=3n+3-1=3n+2
a_{n+1}-a_n=3n+2-(3n+1)=3n+1-3n+2=3
Ciąg jest arytmetyczny.
r=3 różnica ciągu
a_1=3 \cdot 1 - 1=2 pierwszy wyraz ciągu
b)
a_n=n(n+1)=n^2+n
a_{n+1}=(n+1)^2+(n+1)=n^2+2n+1+n+1=n^2+3n+2
a_{n+1}-a_n=n^2+3n+2-(n^2+n)=n^2+3n+2-n^2-n=2n+2 Różnica jest zależna od n.
Ciąg nie jest arytmetyczny.
c)
a_n=5n-1
a_{n+1}=5(n+1)=5n+5
a_{n+1}-a_n=5n+5-(5n-1)=5n+5-5n+1=6
Ciąg jest arytmetyczny.
r=6
a_1=5 \cdot 1 -1=4
d)
a_n=7^n
a_{n+1}=7^{n+1}=7^n+7
a_{n+1}=7^n+7-7^n=7
Ciąg jest arytmetyczny.
r=7
a_1=7^1=7