Zadanie 6
Określ dziedzinę i miejsce zerowe funkcji:
a) f(x)=x-5 / x-1
f(x)=\frac{x-5}{x-1}
x-1\ne 0
x\ne 1
D_f=\mathbb R \ {1}
obliczam miejsce zerowe
f(x)=0
\frac{x-5}{x-1}=0
x-5=0
x=5
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D\frac{x-5}{x-1}
b)
f(x)= \frac{x^2-1}{x+1}
x\ne -1
D: x\in\mathbb R \ {-1} …|dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, z wyłączeniem liczby -1
obliczam miejsca zerowe
f(x)=0
\frac{x^2-1}{x+1}=0 …|ułamek równa się zero, jeśli licznik równa się zero
x^2-1=0
(x-1)(x+1)=0 |zastosowano wzór skróconego mnożenia: a^2-b^2=(a-b)(a+b):
x-1=0 lub x+1=0, ale x+1\ne 0 patrz mianownik ułamka
x=1 jedno miejsce zerowe
c)
f(x)= \sqrt{x-2} …|liczba podpierwiastkowa jest nieujemna.
x-2\geq0
x\geq 2
D_f= \langle 2;+\infty)
d)
f(x)=\frac{3}{x}+\frac{x}{x-3}
x\ne 0 i x\ne3
D_f=\mathbb R \ {0, 3}
obliczam miejsca zerowe
f(x)=0
\frac{3}{x}+\frac{x}{x-3}=0
\frac{3(x-3)+x*x}{x(x-3)}=0 |ułamek równa się zero jeśli licznik równa się zero:
3x-9+x^2=0
x^2+3x-9=0 |rozwiazanie równania kwadratowego ax^2+bx+c=0
a=1, b=3, c=-9
\Delta=b^2-4ac=3^2-4*(-9)=45
\sqrt\Delta=\sqrt{45}=\sqrt{9*5}=3\sqrt5
x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-3-3\sqrt5}{2}=\frac{-3(1+\sqrt5)}{2}=-1,5(1+\sqrt5)
x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-3+3\sqrt5}{2}=\frac{3(\sqrt5-1)}{2}=1,5(\sqrt5-1)