Zadanie 32 (0-4)
Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa 50, a suma dwunastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 72. Oblicz sumę stu początkowych wyrazów tego ciągu.
Wzory
S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \quad Suma n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
a_n=a_1+(n-1)r n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
Rozwiązanie
\left \{ {{S_{10}=\frac{a_1+a_1+9r}{\not2^1} \cdot \not10^5} \atop {S_{12}=\frac{a_1+a_1+11r}{\not2^1} \cdot \not12^6}} \right.
\left \{ {{50=(2a_1+9r)\cdot 5 \ |: 5} \atop {72=(2a_1+11r)\cdot 6 \ |: 6}} \right.
\left \{ {{2a_1+9r=10} \atop {2a_1+11r=12}} \right. \ | *(-1)
metoda przeciwnych współczynników
\left \{ {{2a_1+9r=10} \atop {-2a_1-11r=-12}} \right.
odejmuję stronami
-2r=-2 \ |* (-1)\\ r=1
2a_1+9r=10\\ 2a_1+9 \cdot 1 =10 \\ 2a_1=10-9\\ 2a_1=1 \\ a_1=\frac{1}{2}
\left \{ {{a_1=\frac{1}{2}} \atop {r=1}} \right.
Sprawdzenie
S_{10}=\frac{2\cdot \frac{1}{2}+9 \cot 1}{2}\cdot 10=5\cdot 10=50\\ S_{12}=\frac{2\cdot \frac{1}{2}+11 \cot 1}{2}\cdot 12=6\cdot 12=72
’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’
a_{100}=\frac{1}{2}+99 \cdot 1=99\frac{1}{2} \\ S_{100}=\frac{\frac{1}{2}+99\frac{1}{2}}{2} \cdot 100 =50 \cdot 100 = 5000
Odpowiedź:
5000