Wzory
\Delta=b^2-4ac \qquad wyróżnik trójmianu kwadratowego
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \qquad kwadrat różnicy
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \qquad kwadrat sumy
a)
Trójmian kwadratowy można przedstawić w postaci iloczynowej jeśli \Delta\geq 0.
y=\sqrt2x^2+(3-\sqrt2)x+\frac{1}{4}\\\\ a=\sqrt2 \qquad b=3-\sqrt2 \qquad c=\frac{1}{4}
\Delta=(3-\sqrt2)^2-\not4^1 \cdot \sqrt2\cdot \frac{1}{\not4^1}=9-6\sqrt2+2-\sqrt2=11-4\sqrt2\approx 11-4\cdot 1,41\approx 5,36
co kończy dowód
\Delta >0 trójmian ma 2 pierwiastki
b)
Trójmianu kwadratowego nie można przedstawić w postaci iloczynowej jeśli \Delta<0.
y=\sqrt3x^2+(3-\sqrt3)x + \frac{1}{2}\\\\a=\sqrt3 \qquad b=3-\sqrt3 \qquad c=\frac{1}{2}\\\\ \Delta=(3-\sqrt3)^2-\not4^2\cdot \sqrt3\cdot \frac{1}{\not2^1}=9-6\sqrt3+3-2\sqrt3=12-8\sqrt3\approx 12-8 \approx -1,84 co kończy dowód
\Delta<0 trójmian nie ma pierwiastków