W trójkącie równobocznym punkt przecięcia się wysokości:
- jest środkiem koła wpisanego w trójkąt i opisanego na trójkącie
- dzieli wysokość na 2 odcinki \frac{1}{3}h i \frac{2}{3}h
a = 12 cm
trójkat równoboczny - wzór na wysokość:
h=\frac{a\sqrt3}{2}
h=\frac{12\sqrt3}{2}=6\sqrt3
---------
Zadanie a)
R=\frac{2}{3}h
R=\frac{2}{3}*6\sqrt3=4\sqrt3[cm] promień okręgu opisanego na trójkącie
l=2\pi r wzór na obwód koła
l_1=2\pi *4\sqrt3=8\pi \sqrt3[cm] obwód koła opisanego
P=\pi R^2=\pi *(4\sqrt3)^2=\pi * 16*3=48\pi[cm^2] pole koła opisanego
Zadanie b)
r=\frac{1}{3}h
r=\frac{1}{3}*6\sqrt3=2\sqrt3[cm] promień okręgu wpisanego
l_2=2\pi r=2 \pi *2\sqrt3=4\pi \sqrt3[cm] obwód koła wpisanego
P_2=\pi r^2=\pi *(2\sqrt3)^2=\pi *4*3=12\pi [cm^2] pole koła wpisanego
Wyprowadzenie wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
Z twierdzenia Pitagorasa:
h^2+(\frac{1}{2}a)^2=a^2
h^2+\frac{a^2}{4}=a^2 |*4
4h^2+a^2=4a^2
4h^2=3a^2 |:4
h^2=\frac{3a^2}{4}
h=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}
h=\frac{a\sqrt3}{2}