a)
2xy\leq x^2+y^2
-x^2+2xy-y^2\leq 0 \ |*(-1)
x^2-2xy+y^2\geq 0
(x-y)^2 \geq 0
Nierówność prawdziwa.
b)
\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy} \ |*2
x+y\geq 2\sqrt{xy} \ |^2
x^2+2xy+y^2\geq 4xy \ |-2xy od obu stron nierówności
x^2+y^2\geq 2xy
x^2-2xy+y^2\geq 0
(x+y)^2\geq 0 dla każdej liczby spełniającej założenie x>0 i y>0
c)
\frac{2x}{y}+\frac{y}{2x}\geq 2 \ |*2xy
\frac{2x\cdot 2xy}{y}+\frac{y \cdot 2xy}{2x}\geq 2\cdot 2xy
\frac{4x^2+y^2}{2xy}\geq 2 \ |*2xy
4x^2+y^2\geq 4xy
4x^2-4xy+y^2\geq 0
(2x)^2-2\cdot 2x \cdot y +y^2\geq 0 wzór a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
a=2x , b=y
(2x-y)^2\geq 0 dla każdej liczby \mathbb R