Zadanie 1
a)
x^7(x-1)^3(x+2)(x+5)^5=0
Jest to postać iloczynowa, czyli pierwiastki to liczby zerujące poszczególne “części” (czynniki):
x^7=0 lub x-1=0 lub x+2=0 lub x+5=0
x_1=0 pierwiastek 7-krotny
x_2=1 pierwiastek trzykrotny
x_3=-2 pierwiastek jednokrotny
x_4=-5 pierwiastek 5-krotny
b)
x(x+3)^2(2x-1)^3(x+3)=0
podobnie tutaj:
x+3=0 lub 2x-1=0 lub x+3=0
x_1=0 pierwiastek jednokrotny
x_2=-3 pierwiastek 3-krotny
x_3=\frac{1}{2} pierwiastek 3-krotny
c)
(x+2)^4(3x+4)^2(x+2)^3=0
x_1=-2 pierwiastek 7-krotny
x_2=-\frac{4}{3} pierwiastek dwukrotny
d)
(x^2-9)(x^2+2x-15)^2(x^2-2x+3)
Jest to iloczyn tak jakby 3 równań kwadratowych. Można je rozwiązać za pomoca delty, lub poprzez zamianę postaci na postać iloczynową, korzystając np. ze wzorów skróconego mnożenia.
(x^2-9)(x^2+2x-15)^2(x^2-2x+3)=(x-3)(x+3)(x+5)(x-3)(x-3)(x+1)
x_1=3 pierwiastek 3-krotny
x2=-5
x3=-3
x4=-1
e)
(x-1)(x^5-5x^4+4x^3)
Wyłączamy x^3 przed nawias. W nawiasie zostaje proste równanie kwadratowe ax^2+bx+c.
(x-1)(x^5-5x^4+4x^3)=(x-1)x^3(x^2-5x+4)=(x-1)x³(x-4)(x-1)
i pierwiastki jak wcześniej, mam nadzieję, że rozumiesz
g)
(x^2-1)^2(x^6-2x^5+x^4)
wzór skróconego mnożenia, wyłącznie x^4 przed nawias.
((x-1)(x+1))²x⁴(x²-2x+1)=(x-1)²(x+1)²x⁴(x-1)²
a to juz zwykla postac iloczynowa
h) (x³-x²)(x⁶+x⁴-x²-1)
tu takie male sztuczki matematyczne, standardowe wylaczenie rprzed nawias a potem wylaczenie wspolnego czynnika
(x³-x²)(x⁶+x⁴-x²-1)=x²(x-1)((x⁶-x²)+(x⁴-1))=x²(x-1)(x²(x⁴-1)+(x⁴-1))=x²(x-1)(x⁴-1)(x²+1)
no i standardowo z postaci iloczynowej pierwiastki to liczby zerujace poszczegolne czynniki
1.Niech x+y=12 i x²+y²=126. Oblicz wartość wyrażenia x*y.
z pierwszego rowniania: y=12-x
podstawiamy do drugiego:x²+(12-x)²=126
x²+144-24x+x²=126
2x²-24x+18=0 /:2
x^2-12x+9=0 równanie kwadratowe liczymy delte ze wzoru
\Delta=b^2-4ac=108
\sqrt\Delta=6\sqrt3
nastepnie ze wzorow na pierwiastki obliczmay x_1 , podstawiamy do pierwszego rownania i mamy y, mnożymy i mamy wynik, niestety nie działa mi edytor matematyczny i troche cieżko mi tu pisać takie rzeczy jak pierwiastki, ułamki etc, mam nadzeję, że jasne zadanie
2.Sprawdź, czy poniższa równość jest tożsamością. 7(x²-2)-4(x+3)(x-3)=3x²+22
7(x²-2)-4(x+3)(x-3)=3x²+22
7x²-14-4x²+36=3x²+22
3x²+22=3x²+22
0=0 jest tożsamosc
Zadanie 3
Rózłóż na czynniki, możliwie najniższego stopnia, wielomian: x^3+2x^2-9x-18.
x^3+2x^2-9x-18=(x^3-9x)+(2x^2-18)=x(x^2-9)+2(x^2-9)=(x^2-9)(x+2)=(x-3)(x+3)(x-2)
Zadanie 4
Jeden z boków prostokąta jest o 2cm krótszy, a drugi o 2 cm dłuższy od boku pewniego kwadratu. Który z czworokątów ma większe pole i o ile większe?
x bok kwadratu
y = x-2 bok prostokąta
z = x+2 bok prostokąta
Pole kwadratu = P_k=x*x=x^2
Pole prostokata = P_p=y*z=(x-2)(x+2)=x^2-4 (ze wzoru skróconego mnożenia: a^2-b^2=(a-b)(a+b))
Z tego wynika, że pole kwadratu jest większe o 4cm^2.