- Narysuj dowolny trójkąt ostrokątny
ABC.
- Poprowadź wysokości w tym trójkącie.
- spodek wysokości z wierzchołka C
oznacz jako D (na boku AB)
- spodek wysokości z wierzchołka A oznacz jako E (na boku BC)
- spodek wysokości z wierzchołka B oznacz jako F (na boku AC)
- punkt przecięcia się wysokości oznacz jako O
Rozpatrujemy trójkąty:
- DBO i FCO - Są podobnę (kkk) (oba
mają kąty proste i kąty DOB i FOC są
równe, jako wierzchołkowe - Nazwijmy
je \alpha. i pozostałe dwa kąty też są równe
- ADO i CEO - Są podobnę (kkk) (oba
mają kąty proste i kąty DOA i EOC są
równe, jako wierzchołkowe - Nazwijmy
je \beta.i pozostałe dwa kąty też są równe
- AOF i BOE- Są podobnę (kkk) (oba
mają kąty proste i kąty AOF i BOE są
równe, jako wierzchołkowe - Nazwijmy
je \gamma.i pozostałe dwa kąty też są równe
Teraz patrzymy na trójkąt ABC i dodajemy kąty:
DAO+OAF+OCF+OCE+EBO+DBO=180^0
z UWADI NA TO CO PISALIŚMY W “MYŚLNIKACH” MAMY
2*DAO+2*DBO+2*EBO=180^0
Stąd
DAO+DBO+EBO=90^0(*)
Teraz rozważmy trójkąty prostokątne w których jeden z wierzchołków to punkt O (małe w środku ABC)
rozważmy trójkąt np. ADO. Wiadomo, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180 stopni. Zatem suma kątów \beta+ kątDAO=90^0
Analogicznie w pozostałych trójkątach.
Dodajmy do siebie te zależności, czyli
(\alpha +DBO)+(\beta + DAO)+(\gamma + EBO)=90^0+90^0+90^0
Stąt
\alpha +\beta+\gamma +DBO+ DAO+EBO=270^0
Z (*)
\alpha +\beta+\gamma=180^0
Czyli tworzą kąt półpełny.
Zatem wykazaliśmy co należało