Zadanie 9
a)
Naprzeciwko kąta 30^o mamy bok 5m, czyli przeciwprostokątna mniejszego trójkąta jest 2 razy dłuższa:
c=2*5m=10m i z twierdzenia Pitagorasa:
a^2+5^2=10^2
a^2=100-25
a=\sqrt{75}=\sqrt{25*3}=5\sqrt3[m] podstawa trójkąta
Miary kątów dużego trójkąta:
90^o - I kąt
30+30=60^o II kąt
180^o-90-60=30^o III kąt (wierzchołka)
Podstawa jest przyprostokątną, leży naprzeciwko kąta 30^o, czyli przeciwprostokątna jest 2 razy dłuższa:
c=2*5\sqrt3=10\sqrt3[m] długość przeciwprostokątnej dużego trójkąta
Z twierdzenia Pitagorasa:
h^2+(5\sqrt3)^2=(10\sqrt3)^2
h^2+25*3=100*3
h^2=300-75
h=\sqrt{225}=25m <–odpowiedź
b)
Trójkąt 90, 60, 30 stopni
Patrz ostatni rysunek na str. 147
a\sqrt3=800
a=\frac{800}{\sqrt3}=\frac{800\sqrt3}{\sqrt3*\sqrt3}=\frac{800\sqrt3}{3}=461,880...\approx 462[m] <–odpowiedż
trójkąt 45, 45, 90 prostokatny równoramienny, obie przyprostokątne są sobie równe.
Sprawdź, czy umiesz
Zadanie 1
Trójkąt prostokątny równoramienny ma ramię długości 4 cm. Wysokość tego trójkąta opuszczona na przeciwprostokatną ma długość:…?
z twierdzenia Pitagorasa:
a^2+b^2=c^2
a=b=4cm
c^2=4^2+4^2=32
c=\sqrt{32}=4\sqrt2[cm] przeciwprostokątna
Wysokość dzieli ten trójkąt na 2 jednakowe trójkaty prostokątne, a przeciwprostokątną na pół.
h^2+(\frac{4\sqrt2}{2})^2=4^2
h^2+\frac{16*2}{4}=16
h^2=16-8
h=\sqrt8=2\sqrt2[cm] <–odpowiedź
Zadanie 3
trójkąt ACD
b = 6
c = 2 * 6 = 12
a=?
Z twierdzenia Pitagorasa:
a^2=c^2-b^2
a^2=12^2-6^2=144-36
a=\sqrt{108}=\sqrt{2^2*3^2*3}
108|2
54 |2
27 |3
9 | 3
3 | 3
1 |
a=6\sqrt3 podstawa trójkąta
P_1=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}*6\sqrt3*6=18\sqrt3 pole trójkąta ACD
---------
trójkąt BCD
a = h = 6
$P_2=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}66=18$pole trójkąta BCD
P_{ABC}=P_1+P_2=18\sqrt3+18=18(\sqrt3+1) <–odpowiedź B.
Zadanie 4
Należy obliczyć wysokość trapezu równoramiennego i wysokość trójkąta trójkąta równoramiennego.
TRAPEZ
Wysokość trapezu opuszczona na dłuższą podstawę tworzy trójkąt prostokątny (90,45,45 stopni). Przeciwprostokątna (10cm) jest przekątną kwadratu o boku a.
a\sqrt2=10
a=\frac{10}{\sqrt2}=\frac{10\sqrt2}{\sqrt2*\sqrt2}=\frac{10\sqrt2}{2}=5\sqrt2=5*1,41=7,05[m] wysokość trapezu
TRÓJKĄT
Miary kątów 90, 30, 60 stopni. Wysokość leży naprzeciwko kąta 30^o, czyli jest krótsza 2 razy od przeciwprostokątnej.
c=10m
2h=c
2h=10 |:2
h=5[m]
7,1m+5m=12,1m <–odpowiedź