Zadanie
Wykazać, ze dla x ∈ (1;∞) spelniona jest nierówność:
2lnx + \frac{1}{x} < x
źródło:
\log_{a}b
a>0
a\neq1
b>0
2lnx + \frac{1}{x}<x
Oznaczamy
f(u) =2\ln u -u +\frac{1}{u}
dla
u>1
Mamy
f'(u) =\frac{2}{u} -\frac{1}{u^2} -1=\frac{-u^2+2u-1}{u^2} =\frac{-(u-1)^2}{u^2}<0
czyli f jest malejąca więc
f(x)<f(1)=0