-
a)
podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny
[mat]h=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/mat]
[mat]a=6[/mat]
[mat]h=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}[/mat]
wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku [mat]2:1[/mat]
[mat]x=\frac{2}{3}h[/mat]
[mat]x=\frac{2}{3}*3\sqrt{3}=2\sqrt{3}[/mat]
[mat]y=\frac{1}{3}h[/mat]
[mat]y=\frac{1}{3}*3\sqrt{3}=\sqrt{3}[/mat]
b)
[mat]a=3[/mat]
[mat]k=5[/mat]
na rysunku z książki korzystamy z trójkąta prostokątnego o bokach [mat]x,H,k[/mat]
[mat]H=?[/mat]
musimy policzyć [mat]x[/mat], podobnie jak w a) tylko z [mat]a=3[/mat]
[mat]h=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/mat]
[mat]a=3[/mat]
[mat]h=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/mat]
wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku [mat]2:1[/mat]
[mat]x=\frac{2}{3}h[/mat]
[mat]x=\frac{2}{3}*\frac{3\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}[/mat]
teraz z twierdzenia Pitagorasa
[mat]k^2=H^2+x^2[/mat]
[mat]H^2=k^2-x^2[/mat]
[mat]H^2=5^2-(\sqrt{3})^2=25-3=22[/mat]
[mat]H=\sqrt{22}[/mat]
c)
korzystamy z trójkąta prostokątnego [mat]H,y,c[/mat]
[mat]H=4[/mat]
[mat]x=2\sqrt{3}[/mat]
[mat]y=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}[/mat]
[mat]c^2=H^2+y^2[/mat]
[mat]c^2=4^2+(2\sqrt{3})^2[/mat]
[mat]c^2=16+12[/mat]
[mat]c^2=38[/mat]
[mat]c=\sqrt{38}[/mat]
d)
[mat]k=10[/mat]
[mat]H=2\sqrt{13}[/mat]
[mat]x^2=k^2-H^2[/mat]
[mat]x^2=100-413=100-52=48[/mat]
[mat]x=\sqrt{48}=\sqrt{163}=4\sqrt{3}[/mat]
[mat]y=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}[/mat]
[mat]c^2=y^2+H^2[/mat]
[mat]c^2=(2\sqrt{3})^2+(2\sqrt{13})^2=12+52=64[/mat]
[mat]c=\sqrt{64}=8[/mat]
mat^2=k^2-c^2[/mat]
[mat]\frac{1}{4}a^2=100-64[/mat]
[mat]\frac{1}{4}a^2=36[/mat]
[mat]a^2=36*4=144[/mat]
[mat]a=12[/mat]
-
a)
[mat]x[/mat] to jest dłuższa przekątna sześciokąta foremnego
[mat]y[/mat] to jest krótsza przekątna sześciokąta foremnego
[mat]a=12[/mat]
wzory:
dłuższa przekątna sześciokąta foremnego
[mat]2a[/mat]
krótsza przekątna sześciokąta foremnego
[mat]a\sqrt{3}[/mat]
czyli
[mat]x=2a=2*12=24[/mat]
[mat]y=12\sqrt{3}[/mat]
b)
[mat]x=2a[/mat]
[mat]\frac{1}{2}x=a[/mat]
[mat]k^2=H^2+a^2[/mat]
[mat]H^2=k^2-a^2=10^2-6^2=100-36=64[/mat]
[mat]H=\sqrt{64}=8[/mat]
c)
[mat]k^2=H^2+(\frac{1}{2}x)^2[/mat]
mat^2=k^2-H^2[/mat]
[mat]\frac{1}{4}x^2=12^2-8^2[/mat]
[mat]\frac{1}{4}x^2=144-64=60[/mat]
[mat]x^2=604=240[/mat]
[mat]x=\sqrt{240}=\sqrt{1615}=4\sqrt{15}[/mat]