Zadanie 3
z własności ciągów mamy:
w ciągu arytmetycznym
\frac{a_1+a_3}{2}=a_2
w ciągu geometrycznym
a_1*a_3=a_2{^2}
podstawiam to do treści zadania
\frac{a+c}{2}=1
c=2-a
a*(c+16)=1^2
a(2-a)+16a=1
2a-a^2+16a=1
-a^2+18a=1|*(-1)
a^2-18a+1=0
\Delta=b^2-4ac=324-4*1=320
\sqrt\Delta=8\sqrt{5}
a_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{18-8\sqrt{5}}{2}=9-4\sqrt{5}
a_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{18+8\sqrt{5}}{2}=9+4\sqrt{5}
c=2-a
c_1=2-(9-4\sqrt{5})=2-9+4\sqrt{5}=4\sqrt{5}-7 lub
c_2=2-(9+4\sqrt{5})=2-9-4\sqrt{5}=-7-4\sqrt{5}
sprawdzam ciąg arytmetyczny
\frac{9-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}-7}{2}=1
\frac{9+4\sqrt{5}-7-4\sqrt{5}}{2}=1
sprawdzam ciąg geometryczny
I i II wyraz ciągu jak w arytmetycznym
c_1'=4\sqrt{5}-7+16=4\sqrt{5}+9 lub
c_2'=-7-4\sqrt{5}+16=9-4\sqrt{5}
(9-4\sqrt{5})*(9+4\sqrt{5})=9^2-(4\sqrt{5})^2=81-4^2*5=81-80=1|lub
(9+4\sqrt{5})*(9-4\sqrt{5})=9^2-(4\sqrt{5})^2=81-4^2*5=81-80=1