Zadanie 11
Rozłóż wielomian na czynniki i podaj jego pierwiastki.
a)
w(x)=5x^5-10x^3+5x
5x(x^4-2x^2+1)=0
5x(x^2-1)^2=0
5x(x^2-1)(x^2+1)=0
5x=0 lub x^2-1=0 lub x^2=-1(w zbiorze liczb rzeczywistych brak rozwiązań)
x=0 lub x^2=1
x = 0 lub x = 1 lub x = -1
b)
w(x)=-3x^5+30x^3-75x
-3x^5+30x^3-75x=0
-3x(x^4-10x+25)=0
-3x(x^2-5)^2=0
-3x(x^2-5)(x^2+5)=0
-3x=0 lub x^2-5=0 lub x^2+5=0
x=0 lub x^2=5 lub x^2=-5 (brak rozwiązań, żadna liczba podniesiona do kwadratu \ne 0.
x=0 lub x=\sqrt5 lub x=-\sqrt5
c)
w(x)=32x^6-16x^4+2x^2
rozkładam wielomian na czynniki
32x^6-16x^4+2x^2=0
2x^2(16x^4-4x^2+1)=0
2x^2(4x^2-1)^2=0
2x^2((2x-1)^2)^2=0
2x^2(2x-1)^2(2x+1)^2=0
2x^2=0 lub 2x-1=0 lub 2x+1=0
x = 0 lub 2x=1 lub 2x=-1
$x = 0$lub x = \frac{1}{2} lub x=-\frac{1}{2}
d)
w(x)=125x^3-27
125x^3-27=0
(5x)^3-3^3=0
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) wzór skróconego mnożenia
a=5x b=3
(5x-3)(25x^2+15x+9)=0
5x-3=0
lub
25x^2+15x+9=0
rozwiązanie równania kwadratowego
ax^2+bx+c=0
a = 25, b=15, c=9
\Delta=b^2-4ac=225-4*25*9=-675
\Delta<0
brak rozwiązań
czyli pozostaje
5x-3=0
5x=3
x = 3/5
e) w(x)=4x^4+27x
4x^4+27x=0
x(4x^3+27)=0
x((\sqrt[3]4x)^3+3^3)=0
a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) wzór skróconego mnożenia
x(\sqrt[3]4x+3)(\sqrt[3]{16}x^2-3\sqrt[3]4x+9)=0
x(\sqrt[3]4x+3)(2\sqrt[3]2x^2-3\sqrt[3]4x+9)=0
x = 0
lub
\sqrt[3]4x+3=0
\sqrt[3]4x=-3
x^3=\frac{-27}{4}
x=\frac{\sqrt[3]{-27}}{\sqrt[3]4}=\frac{-3}{\sqrt[3]4}=\frac{-3(\sqrt[3]4)^2}{\sqrt[3]4*(\sqrt[3]4)^2}=\frac{-3*\sqrt[3]{16}}{4}=\frac{-3*2\sqrt[3]2}{4}=-\frac{3\sqrt[3]2}{2}
pozostaje do rozwiązania równanie kwadratowe
2\sqrt[3]2x^2-3\sqrt[3]4x+9=0
\Delta=b^2-4ac=(-3\sqrt[3]4)^2-4*2\sqrt[3]2*9=
delta ujemna równanie nie ma rozwiązań
czyli
x=0 lub x=-\frac{3\sqrt[3]2}{2}
f)
w(x)=-14x^3+7x
-14x^3+7x=0
-7x(2x^2-1)=0
-7x=0 lub 2x^2-1=0
x = 0
lub
2x^2=1
x^2=\frac{1}{2}
x=\frac{1}{\sqrt2} lub x=-\frac{1}{\sqrt2}
x=\frac{\sqrt2}{\sqrt2*\sqrt2} lub x=-\frac{1}{\sqrt2*\sqrt2}
x=\frac{\sqrt2}{2} lub x=-\frac{\sqrt2}{2}
zatem
x=0 , x=\frac{\sqrt2}{2} , x=-\frac{\sqrt2}{2}