zadanie 9
Kostka w kształcie czworościanu foremnego ma wysokość 6 cm. Jaka jest jej objętość?
Wyprowadzenie wzoru na wysokość czworościanu foremnego
spodek wysokości leży w odległości 2/3 h od wierzchołka
z twierdzenia Pitagorasa
(\frac{2}{3}h)^2+H^2=a^2
H^2=a^2-(\frac{2}{3}*\frac{a\sqrt3}{2})^2
H^2=a^2-(\frac{a\sqrt3}{3})^2
H^2=a^2-\frac{3a^2}{9}
wspólny mianownik
H^2=\frac{9a^2-3a^2}{9}
H=\sqrt{\frac{6a^2}{9}}
H=\frac{a\sqrt6}{3}
H = 6 cm
\frac{a\sqrt6}{3}=6 |*3
a\sqrt3=18
a=\frac{18}{\sqrt3}=\frac{18\sqrt3}{\sqrt3*\sqrt3}
a=\frac{18\sqrt3}{3}
a=6\sqrt3[cm] krawędź czworościanu
-------------
Wyprowadzenie wzoru na objętość czworościanu foremnego
V=P_p*H
V=\frac{1}{3}*\frac{a^2\sqrt3}{4}*\frac{a\sqrt6}{3}
V=\frac{a^3\sqrt{18}}{36}
V=\frac{a^3\sqrt{9*2}}{36}
V=\frac{3a^3\sqrt2}{36}
V=\frac{a^3\sqrt2}{12}
V=\frac{(6\sqrt3)^3*\sqrt2}{12}=\frac{216\sqrt{27}*\sqrt2}{12}=18*3\sqrt3*\sqrt2
V=54\sqrt6[cm^3] <–odpowiedź