a=\sqrt{123^{123}}=\sqrt{123^{122+1}}=\sqrt{(123^{61})^2*123}=123^{61}*\sqrt{123} nie
b=\sqrt{234^{234}}=\sqrt{234^{117*2}}=\sqrt{(234^{117})^2}=234^{117} naturalna
c=\sqrt{{5^{16}}^5}=\sqrt{5^{16*5}}=\sqrt{5^{80}}=\sqrt{(5^{40})^2}=5^{40} naturalna
d=\sqrt{{5^{5}}^{16}}=\sqrt{5^{5*16}}=\sqrt{5^{80}}=\sqrt{(5^{40})^2}=5^{40} naturalna
e=\sqrt[3]{123^{123}}=\sqrt[3]{123^{41*3}}=\sqrt[3]{(123^{41)^3}}=123^{41} naturalna
f=\sqrt[3]{1234^{1234}}=\sqrt[3]{1234^{1233+1}}=\sqrt[3]{(1234^{411})^3*1234}=1234^{411}*\sqrt[3]{1234} nie
g=\sqrt{(11^{12})^{13}}=\sqrt{(11^{13})^{6*2}}=\sqrt{(11^{78})^2}=11^{78} naturalna
h=\sqrt[3]{(11^{13})^{12}}=\sqrt[3]{(11^{13})^{4*3}}=\sqrt[3]{(11^{13*4})^3}=\sqrt[3]{(11^{52})^3}=11^{52} naturalna
Jeśli pod pierwiastkiem 3 stopnia (sześciennym) jest liczba naturalna, której wykładnik jest podzielny przez 3, to jest to liczba naturalna.
Liczb naturalnych jest 6.
Liczby c i d są jednakowe.
d jest także liczbą naturalną. Nie byłaby naturalną gdyby był to pierwiastek sześcienny:
d=\sqrt[3]{{5^{5}}^{16}}=\sqrt[3]{5^{80}}=\sqrt[3]{5^{78+2}}=\sqrt[3]{(5^{26})^3*5^2}=5^{26}*\sqrt[3]{25}