Matura z matematyki sierpień 2012 rozwiązania

Matematyka - Szkoła ponadgimnazjalna - 3 klasa zobacz inne zadania z matematyki
1


Zadania i rozwiązania

http://www.cke.home.pl/dokumenty/sierpien2012/matematyka/matematyka_PP.pdf


źródło: Matura poprawkowa 2012 zadania zamknięte i otwarte
zgłoś naruszenie
uaktualniono 4 lata temu
pytanie zadano 4 lata temu
luna
88529 pkt2
Dodaj komentarz
2

Zadanie 1 (1pkt)
Długość boku kwadratu k2 jest o 10% większa od długości boku kwadratu k1. Wówczas pole kwadratu k2 jest większe od pola kwadratu k1.
A. o 10% , B. o 110% , C. o 21% , D. o 121%

\\frac{k_2}{k_1}=\\frac{1,1}{1}=1,1 skala podobieństwa

\\frac{P_{k2}}{P_{k1}}=k^2
\\frac{P_{k2}}{P_{k1}}=(1,1)^2
\\frac{P_{k2}}{P_{k1}}=1,21
P_{k_2}=1,21P_{k_1}

\\frac{1,21P_{k1}-P_{k1}}{P_{k1}}*100\\%=(1,21-1)*100\\%=21\\%

odpowiedź C

Zadanie 2 (1pkt)
Iloczyn 9^{-5}*3^8 jest równy A. 3^{-4} , B. 3^{-9} C. 9^{-1} D. 9^{-9}

9^{-5}*3^8=(3^2)^{-5}*3^8=3^{{-10}+8}=3^{-2}=(3^2)^{-1}=9^{-1}
odpowiedź C

Zadanie 3 (1pkt)
Liczba log_3 27-log_3 1 jest równa A. 0 , B. 1 , C. 2 , D. 3
log_3 27=x

3^x=27
3^x=3^3
x=3

log_3 1=0

log_3 27-log_3 1=3-0=3
odpowiedź D

Zadanie 4 (1 pkt)
Liczba (2-3\\sqrt2)^2 jest równa
A. -14 , B. 22 , C. -14-12\\sqrt2 , D. 22-12\\sqrt2

(2-3\\sqrt2)^2=4-2*2*3\\sqrt2+(3\\sqrt2)^2=4-12\\sqrt2+9*2=22-12\\sqrt2
odpowiedź D

link | zgłoś naruszenie
uaktualniono 4 lata temu
odpowiedzi udzielono 4 lata temu
luna
88529 pkt2
Dodaj komentarz


Czy ta odpowiedź Ci pomogła?   
2

Zadanie 5 (1 pkt)
Liczba (-2) jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = mx + 2. Wtedy
A. m=3 , B. m=1 , C. m=-2 , D. m=-4

f(-2)=0
0=m*(-2)+2
0=-2m+2
2m=2 |:2
m=1
odpowiedź B

Zadanie 6 (1 pkt)
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x+4| \\leq 7.
A. <-11, 3> , B. <-3, 11> C. <-11, 3> , D (-\\infty ,-3> \\cup <11, +\\infty)

|x+4| \\leq  7
układ nierówności bez wartości bezwzględnej
x+4\\leq7 i x+4\\geq -7

x\\leq 3 i x\\geq -11

x\\in \\langle-11;3\\rangle
odpowiedź C

Zadanie 7 (1 pkt)
Dana jest parabola o równaniu y = x^2 + 8x - 14. Pierwsza współrzędna tej paraboli jest równa
A. x=-8 , B. x=-4 , C. x=4 , D. x=8

y = x^2 + 8x - 14
a=1 , b=8, c=-14
x_w=-\\frac{b}{2a}=-\\frac{8}{2*1}=-4
odpowiedź B

Zadanie 8 (1 pkt)
Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest \\langle-2; +\\infty)

zbiór wartości, czyli zbiór y

y\\in \\langle-2;+\\infty)
odpowiedź B

link | zgłoś naruszenie
uaktualniono 4 lata temu
odpowiedzi udzielono 4 lata temu
luna
88529 pkt2
Dodaj komentarz


Czy ta odpowiedź Ci pomogła?   
2

Zadanie 9 (1 pkt)
Zbiorem rozwiązań nierówności x(x+6)<0 jest
A. (−6, 0) B. (0, 6) C. (−∞, −6) lub (0,+∞) D. (−∞,0) lub (6,+∞)
x(x+6)<0
x(x+6)=0
x=0 lub x+6=0
x=0 lub x=-6
x\\in (-6,0)
odpowiedź A

Zadanie 10 (1pkt)
Wielomian W()x)=x^6 + x^3 - 2 jest równy iloczynowi
A. (x^3+1)(x^2-2) , B. (x^3-1)(x^3+2) C. (x^2+2)(x^4-1) D. (x^4-2)(x+1)

W(x)=x^6 + x^3 - 2=x^6-x^3+2x^3-2=x^3(x^3-1)+2(x^3-1)=(x^3-1)(x^3+2)
odpowiedź B

Zadanie 11 (1 pkt)
Równanie \\frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x+2)}=0 ma
A. dokładnie jedno rozwiązanie
B. dokładnie 2 rozwiązania
C. dokładnie 3 rozwiązania
D. dokładnie cztery rozwiązania
\\frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x+2)}=0

(x-3)(x+2)\\ne 0
x-3\\ne 0 i x+2\\ne 0
x\\ne 3 i x\\ne -2
D \\in R \ {-2,3}
licznik musi być zerem
(x+3)(x-2)=0
x+3=0 lub x-2=0
x=-3 lub x=2
odpowiedź B

Zadanie 12 (1 pkt)
Dany jest ciąg (a_n) okreslony wzorem a_n=\\frac{n}{(-2)^n} dla n\\geq 1. Wówczas
A. a_3=\\frac{1}{2} , B. a_3=-\\frac{1}{2} , C. a_3=\\frac{3}{8} , D. a_3=-\\frac{3}{8}

a_3=\\frac{3}{(-2)^3}
a_3=\\frac{3}{-8}=-\\frac{3}{8}
odpowiedź D

link | zgłoś naruszenie
uaktualniono 4 lata temu
odpowiedzi udzielono 4 lata temu
luna
88529 pkt2
Dodaj komentarz


Czy ta odpowiedź Ci pomogła?   
2

Zadanie 13 (1 pkt)
W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1=36 i a_2=18. Wtedy
A. a_4=-18 , B. a_4=0 , C. a_4=4,5 , D. a_4=144

a_1*q=a_2

36q=18 |:18
2q=1

q=\\frac{1}{2}

a_2*q^2=a^4

a^4=18*(\\frac{1}{2})^2=18*\\frac{1}{4}=\\frac{9}{2}=4,5
odpowiedź C

Zadanie 14 (1 pkt)
Kąt \\alpha jest ostry i sin\\alpha=\\frac{7}{13}. Wtedy tg \\alpha jest równy
A. \\frac{7}{6} , B. \\frac{7*13}{120} , C. \\frac{7}{\\sqrt{120}} , D. \\frac{13}{\\sqrt{120}}

\\frac{a}{c}=\\frac{7}{13}
a=7 , c=13
z twierdzenia Pitagorasa
b=\\sqrt{13^2-7^2}=\\sqrt{169-49}=\\sqrt{120}

tg\\alpha=\\frac{a}{b}=\\frac{7}{\\sqrt{120}}
odpowiedź C

Zadanie 15 (1 pkt)
W trójkącie prostokątnym dane sa długości (zobacz rysunek). Wtedy
A. cos \\alpha=\\frac{9}{11} , B. sin\\alpha=\\frac{9}{11} , C. sin\\alpha=\\frac{11}{2\\sqrt{10}} , D. cos\\alpha=\\frac{2\\sqrt{10}}{11}

a=2\\sqrt{10} przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta alfa
b=9
c=11

sin\\alpha=\\frac{a}{c}

sin\\alpha=\\frac{2\\sqrt{10}}{11}
----------
cos\\alpha=\\frac{b}{c}

cos\\alpha=\\frac{9}{11}
odpowiedź A

Zadanie 16 (1 pkt)
Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 14. Bok AB tego prostokąta ma długość 6. Długość boku BC jest równa
A. 8 , B. 4\\sqrt{10} , C. 2\\sqrt{58} , D. 10

z twierdzenia Pitagorasa
|BC|=\\sqrt{14^2-6^2}=\\sqrt{196-36}=\\sqrt{160}=\\sqrt{16*10}=4\\sqrt{10}
odpowiedź B

Zadanie 17 ( 1pkt)
Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku S. (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego ACB jest równa
A. 65 , B. 100 , C. 115 , D. 130 stopni

Twierdzenie
Miara kąta wpisanego jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
\\frac{1}{2}*230^\\circ=115^\\circ
odpowiedź C

Zadanie 18 (1 pkt)
Długość boku trójkąta równobocznego jest równa 24\\sqrt3. Promień okregu wpisanego w ten trójkąt jest równy
A. 36 , B. 18 , C. 12 , D. 6

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny równa się 1/3 wysokości trójkąta.

r=\\frac{1}{3}*h_\\Delta=\\frac{1}{3}*\\frac{a\\sqrt3}{2}=\\frac{a\\sqrt3}{6}=\\frac{24\\sqrt3*\\sqrt3}{6}=4*3=12
odpowiedź C

link | zgłoś naruszenie
uaktualniono 4 lata temu
odpowiedzi udzielono 4 lata temu
luna
88529 pkt2
Dodaj komentarz


Czy ta odpowiedź Ci pomogła?   
2

Zadanie 22 (1 pkt)
Objętość sześcianu jest równa 64. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
A. 512 , B. 384 , C. 96 , D. 16
V=a^3

a^3=64

a^3=4^3

a=4 krawędź sześcianu

P=6a^2=6*4^2=6*16=96
odpowiedź C

link | zgłoś naruszenie
uaktualniono 4 lata temu
odpowiedzi udzielono 4 lata temu
luna
88529 pkt2
Dodaj komentarz


Czy ta odpowiedź Ci pomogła?   
2

Zadanie 23 (1 pkt)
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku a. Objętość tego stożka wyraża się wzorem
A. \\frac{\\sqrt3}{6}\\pi a^3 , B. \\frac{\\sqrt3}{8}\\pi a^3 , C. \\frac{\\sqrt3}{12}\\pi a^3 , D. \\frac{\\sqrt3}{24}\\pi a^3

r=\\frac{a}{2} promień podstawy

V=\\frac{1}{3}P_p*H=\\frac{1}{3}*\\pi r^2*\\frac{a\\sqrt3}{2}=\\frac{a\\sqrt3}{6}*\\pi*(\\frac{a}{2})^2*=\\frac{a\\sqrt3}{6}*\\pi *\\frac{a^2}{4}=\\frac{\\sqrt3}{24}\\pi a^3
odpowiedź D

Zadanie 24 ( 1 pkt)
Pewna firma zatrudnia 6 osób. Dyrektor zarabia 8000 zl, a pensje pozostałych pracowników są równe: 2000 zł, 2800 zł, 3400 zł, 3600 zł, 4200 zł. Mediada zarobków tych 6 osób jest równa
A. 3400 zł , B. 3500 zł , C. 6000 zł , D. 7000 zł

2000, 2800, 3400, 3600, 4200, 8000
6 jest liczbą parzystą. Obliczam średnią arytmetyczną.
\\frac{3400+3600}{2}=3500[zl]
odpowiedź B

Zadanie 25 (1 pkt)
Ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} wybieramy losowo jedna liczbę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 4. Wówczas:
B. p=1/5

Q={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}
N=15
A={4,8,12}
n_A=3

P(A)=\\frac{n_A}{N} wzór ogólny

p=\\frac{3}{15}=\\frac{1}{5}
odpowiedź B

link | zgłoś naruszenie
uaktualniono 4 lata temu
odpowiedzi udzielono 4 lata temu
luna
88529 pkt2
Dodaj komentarz


Czy ta odpowiedź Ci pomogła?   
2

Zadanie 26 (2 pkt)
Rozwiąż nierówność x^2-8x+7\\geq 0

x^2-8x+7\\geq0

x^2-7x-x+7=0

x(x-7)-(x-7)=0

(x-7)(x-1)=0

x-7=0 lub x-1=0
x=7 lub x=1
a>0 x\\in(-\\infty,1\\rangle \\cup \\langle7, +\\infty)

Zadanie 27 (2 pkt)
Rozwiąż równanie x^3 - 6x^2 - 9x + 54 = 0
x^3 - 6x^2 - 9x + 54 = 0
x^2(x-6)-9(x-6)=0
(x-6)(x^2-9)=0
wzór skróconego mnożenia (a^2-b^2)=(a-b)(a+b)
(x-6)(x-3)(x+3)=0
x-6=0 V x-3 =0 V x+3=0
x=6 V x=3 V x=-3

Zadanie 28 (2 pkt)
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
a_n=a_1+(n-1)r
a_1+3r=a_4
3+3r=15
3r=12 |:4
r=4

a_6=a_4+2r=15+2*4=23

S_n=\\frac{a_1+a_n}{2}*n

S_6=\\frac{3+23}{2}*6=13*6=78 <-- odpowiedź

link | zgłoś naruszenie
uaktualniono 4 lata temu
odpowiedzi udzielono 4 lata temu
luna
88529 pkt2
Dodaj komentarz


Czy ta odpowiedź Ci pomogła?   
2

Zadanie 29 (2 pkt)
W trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC| = |BC| = 6 i |< ACB| = 30 (zobacz rysunek). Oblicz wysokość AD opuszczoną z wierzchołka na bok BC.
kąt|<ADC|=90^\\circ

\\frac{|AD|}{|AC|}=sin30^\\circ

\\frac{|AD|}{6}=\\frac{1}{2}

2|AD|=6 |:2

|AD|=3 <-- odpowiedź

link | zgłoś naruszenie
uaktualniono 4 lata temu
odpowiedzi udzielono 4 lata temu
luna
88529 pkt2
Dodaj komentarz


Czy ta odpowiedź Ci pomogła?   
2

Zadanie 29 (2 pkt)
Wykaż, że jeżeli c < 0, to trójmian kwadratowy ma 2 różne miejsca zerowe.

Zadanie 33 (4 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S trójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).
H=h_\\Delta=\\frac{a\\sqrt3}{2}=\\frac{8\\sqrt3}{2}=4\\sqrt3 wysokość ostrosłupa

d=8 przekątna kwadratu
a\\sqrt2=8
a=\\frac{8}{\\sqrt2}=\\frac{8\\sqrt2}{\\sqrt2*\\sqrt2}
a=\\frac{8\\sqrt2}{2}
a=4\\sqrt2 krawędż podstawy

z twierdzenia Pitagorasa
c^2=(\\frac{a}{2})^2+H^2
c^2=(\\frac{4\\sqrt2}{2})^2+(4\\sqrt3)^2
c^2=(2\\sqrt2)^2+16*3=4*2+48
c=\\sqrt{56}=\\sqrt{4*14}
c=2\\sqrt{14} wysokość ściany bocznej ostrosłupa

sin\\alpha=\\frac{H}{c}
sin\\alpha=\\frac{4\\sqrt3}{2\\sqrt{14}}
sin\\alpha=\\frac{2\\sqrt3}{\\sqrt{14}}
sin\\alpha=\\frac{2\\sqrt3*\\sqrt{14}}{14}
sin\\alpha=\\frac{\\sqrt{42}}{7} <-- odpowiedź

Zadanie 34 (5 pkt)
Kolarz pokonał trasę 114 km. Gdyby jechał ze średnią predkością mniejszą o 9,5 km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o 2 godziny dłuższym. Oblicz z jaka prędkością jechał ten kolarz.
s = v * t
v*t=114

(v-9,5)(t+2)=114
v > 0 , t > 0
------
t=\\frac{114}{v}

(v-9,5)(t+2)=vt

vt+2v-9,5t-19=vt |-vt od obu stron równania

2v-9,5t-19=0

2v-9,5*\\frac{114}{v}-19=0

2v-\\frac{1083}{v}-19=0 |*v

2v^2-1083-19v=0

2v^2-19v-1083=0

rozwiązanie równania kwadratowego
ax^2+bx+c=0 wzór ogólny
a=2, b=-19, c=-1083
\\Delta=b^2-4ac=(-19)^2-4*2*(1083)=9025

\\sqrt\\Delta=95

x_1=\\frac{-b-\\sqrt\\Delta}{2a}=\\frac{19-95}{2*2}=-19 v<0 , nie spełnia warunków zadania

x_2=\\frac{-b+\\sqrt\\Delta}{2a}=\\frac{19+95}{4}=28,5

v = 28,5 km/h


sprawdzenie
t=\\frac{114}{v}=\\frac{114}{28,5}=4[h] jechał

28,5*4=114
(28,5-9,5)(4+2)=19*6=114

link | zgłoś naruszenie
uaktualniono 4 lata temu
odpowiedzi udzielono 4 lata temu
luna
88529 pkt2
Dodaj komentarz


Czy ta odpowiedź Ci pomogła?   
Twoja odpowiedź:
Nie jesteś zalogowany, ale możesz odpowiedzieć anonimowo.

Jeżeli chcesz wstawić wzór matematyczny, możesz to łatwo zrobić. Sprawdź tutaj jak to zrobić.

włącz/wyłącz podgląd



Tagi

× 1
× 1
× 1

utworzono4 lata temu
zaktualizowano4 lata temu
wyświetlono14 676 razy