Jeśli wielomian W(x) dzieli się przez dwumian x-a, to liczba a jest pierwiastkiem tego wielomianu.
a)
W(x)=5x^{14}-6x+1
V(x)=x-a
a = 1
W(1)=0
5x^{14}-6x+1=0
5*1^{14}-6*1+1=0
5*1-6+1=0
-1+1=0
0=0 tak
b)
V(x)=x+1
a = -1
W(x)=3x^7-x^3+x^2+1
W(-1)=0
3x^7-x^3+x^2+1=0
3*(-1)^7-(-1)^3+(-1)^2+1=0
-3+1+1+1=0
0=0 jest
R = 0
c)
V(x)=x+2
a=-2
W(-2)=0
x^3+3x^2+x-10=0
(-2)^3+3*(-2)^2+(-2)-10=0
-8+12-2-10=0
2\ne0 nie , R \ne 0
sprawdzenie:
schematem Hornera
a = -2
|1 |3 |1 |-10| współczynniki wielomianu W(x)
|1 |1 |-1|-8 | współczynniki wielomianu P(x) o 1 stopień niższego niż W(x) , R = -8
pierwszy współczynnik przepisujemy,
-2 1+3=1
-21+1=-1
-2*(-1)+(-10)=-8
-2*1+(-10)=-12 R=-12
W(x)=P(x)(x-a)+R
W(x)=(x+2)(x^2+x-1)
W(x)=x^3+x^2-x+2x^2+2x-2-8
W(x)=x^3+x^2-x-10
d)
V(x)=x-3
a = 3
\frac{1}{9}x^4-x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0
\frac{1}{3^2}*3^4-3^2+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=0
3^2-3^2+1=0
1\ne 0 nie
e)
a=\frac{1}{2}
W(a)=0
W(\frac{1}{2})=0
(\frac{1}{2})^4-\frac{1}{2}*(\frac{1}{2})^3-4*\frac{1}{2^2}+1=0
(\frac{1}{2})^4-(\frac{1}{2})^4-1+1=0
0=0 tak
f)
W(x)=x^8-3x^4+x^3-27
dla a=\sqrt3
W(\sqrt3)=0
sprawdzam
(\sqrt3)^8-3*(\sqrt3)^4+(\sqrt3)^3-27=0
3^4-3*3^2+3\sqrt3-27=0
81-27+3\sqrt3-27=0
27+3\sqrt3\ne 0 nie