Zadanie Zapisz wzór ogólny ciągu: a) 2, 4, 8, 16, 32,… b) -2, 4, -8, 16, -32,… c)-1/2, -2/3, -3/4, -4/5, -5/6, -6/7,… d) 3/4, 5/8, 7/16, 9/32, 11/64,… e) 1/4, 2/9, 3/16, 4/25,…
źródło:
a) ciąg geometryczny-widać z daleka, q=2 a_1=2 a_2=4 a_3=8 a_4=16
q = 2 iloraz ciągu z własności ciągu geometrycznego: Kwadrat środkowego wyrazu = iloczynowi skrajnych wyrazów. (a_2)^2=a_1*a_3
4^2=2*8
a_n=a_1*q^{n-1} wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu w ciągu geometrycznym
a_n=2*2^{n-1}=2*2^^n*2^{-1}=2*2^n*\frac{1}{2}
a_n=2^n <-- odpowiedź
b) ciąg geometryczny q=-2 -2,4,-8,16,32 a_1=-2 pierwszy wyraz ciągu
a_n*q=a_{n+1}
a_1*q=a_2
-2*q=4 |:(-2)
q = -2
a_n=-2*(-2)^{n-1}=-2*(-2)^n*2^{-1}=-2*(-2)^n*\frac{1}{-2}
a_n=(-2)^n
sprawdzenie: a_3=(-2)^3=-8 a_4=(-2)^4=16
c)-1/2, -2/3, -3/4, -4/5, -5/6, -6/7,…
a_n=-\frac{n}{n+1}
e) 1/4, 2/9, 3/16, 4/25,… a_1=\frac{1}{4}=\frac{1}{(1+1)^2}
a_2=\frac{2}{9}=\frac{2}{(2+1)^2}
a_3=\frac{3}{16}=\frac{2}{(3+1)^2}
a_4=\frac{4}{25}=\frac{4}{(4+1)^2}
a_n=\frac{n}{(n+1)^2} <-- odpowiedź
Zapisz wzór ogólny ciągu: a)2,4,8,16,32,…
a_n=2^n
b) -2,4,-8,16,-32,…
c)-1/2,-2/3,-3/4,-4/5,-5/6,-6/7,…
a_n=-\frac{n}{2+(n-1)}
d)3/4,5/8,7/16,9/32,11/64,…
a_n=\frac{3+2(n-1)}{2*2^n}
e)1/4,2/9,3/16,4/25,…
a_n=\frac{n}{(n+1)^2}