zadanie 8 strona 142 Sprawdź, czy trójkąt ABC jest prostokątny. a) A=(-5,0), B=(0,-2), C=(2,2) b) A=(4,-1), B=(1,5), C=(-4,3) c) A=(-3,-1), B=(6,-4), C=(7,-1)
źródło: Podręcznik Matematyka z Plusem
Proszę zaznaczyć te punkty w układzie współrzędnych Obliczamy długości boków za pomocą tw. Pitagorasa a) |AB| obliczamy z trójkąta prostokątnego ABO |AB|^2=AO^2+OB^2
|AB|^2=5^2+2^2
|AB|=\sqrt{25+4}=\sqrt{29} Punkt D ma współrzędne (0;2)
podobnie punkt E(2;0)
|BC|^2=|BD|^2+|CD|^2
|BC|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}
|AC|^2=|AE|^2+|EC|^2
|AC|=\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53} Sprawdzam czy trójkąt ABC jest prostokątny powinien być spełniony warunek \sqrt{53}^2czy=\sqrt{29}^2+\sqrt{20}^2
53\neq49 trójkąt nie jest prostokątny
b) Podobnie wyznaczam punkty, które utworzą trójkąty prostokątne potrzebne do obliczenia boków trójkąta ABC. Zaznaczamy nast. punkty w ukł. współ. A=(4;-1), B=(1;5), C=(-4;3) M=(1;-1), P=(1;3), R=(-4;-1)
|AB|^2=|AM|^2+|MB|^2 |AB|=\sqrt{3^2+6^2}
|AB|=\sqrt{45}
… |BC|^2=|CP|^2+|PB|^2
|BC|=\sqrt{5^2+2^2}
|BC|=\sqrt{29} …
|AC|^2=|AR|^2+|RC|^2
|AC|=\sqrt{8^2+4^2}
|AC|=\sqrt{80}
Sprawdzam czy suma kwadratów długości dwóch boków mniejszych jest równa kwadratowi boku największemu
\sqrt{45}^2+\sqrt{29}^2 czy=\sqrt{80}^2
45+29\neq80 Odp Trójkąt nie jest prostokatny
a) A=(-5,0), B=(0,-2), C=(2,2) Wyznaczam współczynniki równania prostych przechodzacych przez dwa punkty.Jezeli będą dwie proste prostopadłe tzn spełniające warunek: a_1=-\frac{1}{a_2} to ten trójkąt jest prostokątny. Przez punkty AB a_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-2-0}{0-(-5)}=-\frac{2}{5} Przez punktyAC a_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{2-0}{2-(-5)}=\frac{2}{7} Przez punkty BC a_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{2-(-2)}{2-0)}=\frac{4}{2}
Współczynniki nie spełniają warunku, czyli trójkąt nie jest prostokątny
c)
Proszę zaznaczyć punkty w ukł. współ. A=(-3;-1), B=(6;-4), C=(7;-1)
T=(-3;-4), S=(7;-4) Odczytujemy długość odcinka AC z rysunku |AC|=10
|AB|^2=|BT|^2+|TA|^2
|AB|=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{90} …
|BC|^2=|BS|^2+|SC|^2
|BC|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10} Sprawdzam czy trójkąt ABC jest prostokątny ( jak wyżej przykład a) i b))
\sqrt{10}^2+\sqrt{90}^2czy=10^2
10+90=100 100=100 Odp. Trójkat jest prostokątny
b) A=(4,-1), B=(1,5), C=(-4,3) Przez punkty AB a_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{5-(-1)}{1-4}=\frac{6}{3}=-2 Przez punktyAC a_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{-4-(-1)}{-4-4}=\frac{3}{8} Przez punkty BC a_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{3-5}{-4-1}=\frac{2}{5}
c) A=(-3,-1), B=(6,-4), C=(7,-1) Przez punkty AB a_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-4-(-1)}{6-(-3)}=-\frac{3}{9}=-\frac{1}{3} Przez punktyAC a_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{-1-(-1)}{7-(-3)}=\frac{0}{10}=0 Przez punkty BC a_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{-1-(-4)}{7-6}=\frac{3}{1}=3
a_{AB}=-\frac{1}{a_{BC}} Współczynniki spełniają warunk, czyli trójkąt jest prostokątny