\int\frac{x^2-8x-2}{x^3-3x+2}dx=
Tu zaczynają się obliczenia do rozkładu mianownika na iloczyn.
Rozkładam mianownik na iloczyn
Pierwiastkiem mianownika jest 1, bo M(1)=1-3+2=0
Dzielimy wielomian z mianownika przez (x-1)
(x^3-3x+2):(x-1)=x^2+x-2
x^2+x-2=0
\Delta=9
x_1=\frac{-1-3}2=-2
x_2=\frac{-1+3}{2}=1
Więc
x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)
Rozkładam funkcję wymierną na sumę ułamków prostych I i II rodzaju
\frac{x^2-8x-2}{(x-1)^2(x+2)}=\frac{A}{(x-1)^2}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}
x^2-8x-2=A(x+2)+B(x-1)(x+2)+C(x-1)^2
x^2-8x-2=A(x+2)+B(x^2+2x-x-2)+C(x^2-2x+1)
1=B+C
-8=A+B-2C
-2=2A-2B+C
…
rozwiązujemy układ trzech rownan
B=1-C
podstawiam do II i III równania
…
-8=A+1-C-2C
-2=2A-2(1-c)+C
…
-8-1=A-3C
-2=2A-2+2C+c
…
-9=A-3C
0=2A+3C
…
-9=3A
A=-3
-9=-3-3C
3C=9-3
3C=6
C=2
B=1-2=-1
ciąg dalszy całki
=-3\int\frac{dx}{(x-1)^2}-1\int\frac{dx}{x-1}+2\int\frac{dx}{x+2}=3\frac{1}{x-1}-ln|x-1|+2ln|x+2|+c