Zadanie 3.
Podstawą trójkąta równoramiennego jest odcinek o końcach w punktach A= (-2,-4) oraz B= (-5,2). Jedno z jego ramion zawiera się w prostej o równaniu y= x-2. Oblicz współrzędne trzeciego wierzchołka trójkąta.
Wyznaczam równanie prostej przez punkty A i B
(x_A-x_B)(y-y_B)=(y_A-y_B)(x-x_B)
(-2-(-5))(y-2)=(-4-2)(x-(-5)
3(y-2)=-6(x+5)
3y-6=-6x-30
3y=-6x-30+6
3y=-6x-24| /3
y=-2x-8
a_1=-2 wspólczynnik kierunkowy prostej
Wyznaczam środek odcinka AB
x_s=\frac{-2+(-5)}{2}=-\frac{7}{2}=-3,5
y_s=\frac{-4+2}{2}=\frac{-2}{2}=-1
S(-3,5;-1)
Wyznaczam równanie prostej prostopadłej do odcinka AB i przechodzącej przez jego środek, na której leży wysokość trójkąta
a_1*a_2=-1 warunek prostopadłości prostych
a_2=-\frac{1}{a_1}=-\frac{1}{2} współczynnik kierunkowy prostek równoległej do danej
y=\frac{1}{2}x+b
-1=\frac{1}{2}(-\frac{7}{2})+b
-1=-\frac{7}{4}+b
b=\frac{7}{4}-1=\frac{3}{4}=0,75
y=0,5x+0,75
Wyznaczam punkt przecięcia się tej prostej z prostą zawierającą ramię, czyli wierzchołek C trójkąta
y=x-2
y=0,5x+0,75
---------------------------
Odejmuje stronami
0=x-0,5x-2-0,75
0=0,5x-2,75
0,5x=2,75
x=\frac{2,75}{0,5}=5,5
y=5,5-2=3,5
C(5,5 ; 3,5)