Powstałe trójkąty są podobne do trójkąta ABC. Czyli ich podstawy oraz wysokości są odpowiednio proporcronalne. Odznaczmy sobie podstawy tych trójkątów przez d, e, f, oraz wysokości przez h1, h2, h3. Poprowadźmy następne proste równoległe do boków przez punkty przecięcia porrzednich z podstawą AB / bok a / Widzimy, że:
d+e+f=a
P_1=\frac{1}{2}*d*h_1
P_2=\frac{1}{2}*e*h_2
P_3=\frac{1}{2}*f*h_3
\frac{d}{a}=k_1
$\frac{h}{h_1}=k_1$i odpowiednio mamy k_2, k_3
$d=k_1*a$odpowiednio mamy e, f
h_1=k_1*h
$\sqrt{P_1}+\sqrt{P_2}+\sqrt{P_3} =\sqrt{\frac{1}{2}dh_1}+\sqrt{\frac{1}{2}eh_2}+\sqrt{\frac{1}{2}fh_3$Podstawiamy dane
\sqrt{\frac{1}{2}*a*k_1*h*k_1}+\sqrt{\frac{1}{2}*a*k_2*h*k_2}+\sqrt{\frac{1}{2}*a*k_3*h*k_3}=
=\sqrt{\frac{1}{2}*a*h *{k_1}^2}+\sqrt{\frac{1}{2}*a*h*{k_2}^2}+\sqrt{\frac{1}{2}*a*h*{k_3}^2}=
=\sqrt{\frac{1}{2}*a*h }*( k_1+k_2+k_3 )
k_1+k_2+k_3 =\frac{d}{a}+\frac{e}{a}+\frac{f}{a}=\frac{d+e+f}{a}=\frac{a}{a}=1
\sqrt{\frac{1}{2}*a*h }* ( k_1+k_2+k_3 )= \sqrt{\frac{1}{2}*a*h }*1=\sqrt{\frac{1}{2}*a*h }=\sqrt{P} CBDU --Co było do udowodnienia