Korzystam:
- ze związku między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta ostrego trójkąta prostokatnego
tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha} , \frac{1}{tg\alpha}=ctg\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}
-
ze związku między sinusem i cosinusem, tzw. jedynki trygonometrycznej
sin^2\alpha+cos\alpha=1
rozwiązanie
tg\alpha+\frac{1}{tg\alpha}=\frac{5}{sin\alpha}
\frac{sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=\frac{5}{sin\alpha}
\frac{sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{cos\alpha}{sin\alpha}-\frac{5}{sin\alpha}=0
\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+\frac{cos\alpha-5}{sin\alpha}=0
\frac{sin^2\alpha+cos\alpha(cos\alpha-5)}{sin\alpha cos\alpha}=0
\frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha-5cos\alpha}{sin\alpha cos\alpha}=0 |*sin\alpha cos\alpha
sin^2\alpha+cos^2\alpha-5cos\alpha=0
1-5cos\alpha=0
1=5cos\alpha
cos\alpha=\frac{1}{5}
…
sin^2\alpha+cos^2\alpha-5cos\alpha=0
sin^2\alpha+(\frac{1}{5})^2-5*\frac{1}{5}=0
sin^2\alpha+\frac{1}{25}-1=0
sin^2\alpha=\frac{24}{25}
sin\alpha=\frac{\sqrt{4*6}}{\sqrt{25}}
sin\alpha=\frac{2\sqrt6}{5}
…
tg\alpha=\frac{\frac{2\sqrt6}{5}}{\frac{1}{5}}=\frac{2\sqrt6}{5}*5=2\sqrt6