Oznaczmy wierzchołki podstawy / kwadrat / przez ABCD oraz wierzchołek ostrosłupa przez E , punkty przekroju krawędzi bocznych przez F i G., oraz środek podstawy przez O
GD = FC = 4 cm / zgodnie z rysunkiem
Wszystkie krawędzie wynoszą l=12 cm
P_{ABFG}=?
Ściany boczne są trójkątami równobocznymi
EG=EF=12-4=8
Trójkąt EFG też jest trójkątem równobocznym. Wobec tego:
GF=8
Pole rzekroju ABGF jest trapezem równoramiennym
P=\frac{a+b}{2}*h_t
Z trójkąta równoramiennego BED wyliczymy wysokość ostrosłupa H /odcinek EO /
H^2+(\frac{d}{2})^2=ED^2
d=l\sqrt2=12\sqrt2 | przekątna kwadratu
H^2=12^2-(6\sqrt2)^2
H^2=144-36*2=144-72=72=36*2
H=6\sqrt2
Oznaczmy odległość punktu G od podstawyprzez h1
Rozpatrzmy teraz trójkąt DOE. Mamy:
EO = H
OD = d/2
ED = l
oraz GD = 4 i h1 = ?
Mamy tu do czynienia z trójkątami podobnymi.
\frac{H}{h_1}=\frac{l}{4}
12*h_1=4*6\sqrt2
h_1=\frac{24\sqrt2}{12}=2\sqrt2
Rozpatrzmy teraz trójkąt powstały z wysokości ostrosłupa H, wysokości ściany bocznej i odległości O do krawędi podstawy. Zrzytujmy wysokość h1 na ten trójkąt. Odległość tej wysokości od krawędzi podstawy oznaczmy przez " m".
Znów mamy do czynienia z trójkątami podobnymi. I tak :
\frac{H}{h_1}=\frac{\frac{l}{2}}{m}
6\sqrt2*m=2\sqrt2*6 | /6
\sqrt2*m =2\sqrt2
m=2
Obliczamy więc wysokość tego Przekroju, czyli trapezu:
{h_t}^2={h_1} ^2+(l-m)^2
{h_t}^2=(2\sqrt2)^2+(12-2)^2
{h_t}^2=8+100=108=36*3
h_t=6\sqrt3
P=\frac{12+8}{2}*6\sqrt3=60\sqrt3 | ODPOWIEDŹ