1.Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 3, a krawędzie boczne mają długość 4. Oblicz:
c) miarę kąta nachylenia jego ściany bocznej do podstawy
d) miarę kąta między jego ścianami bocznymi
c)
Wysokość ostrosłupa H i wysokość ściany bocznej hb, oraz 1/3 wysokości podstawy “y” tworzą trójkąt prostokątny.
tg\beta=\frac{H}{y}
y=\frac{1}{3}h_p=\frac{1}{3}*\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{1}{3}*\frac{3\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}
tg\beta=\frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\sqrt{13}*\frac{2}{\sqrt3}=2\sqrt{\frac{13}{3}}\approx2*2,081\approx4,162
\beta\approx76st30min
d)
Żeby wyznaczyć miarę kąta między ścianami musimy poprowadzić wysokości “hs” dwóch ścian z wierzchołka przy podstawie ostrosłupa do krawędzi ściany bocznej.
Wysokości te “hs” i krawędź podstawy “a” tworzą trójkąt równoramienny. Kąt wierzchołkowy “x” tego trójkąta to właśnie kąt pomiędzy ścianami bocznymi.
sin\frac{x}{2}=\frac{\frac{a}{2}}{h_s}
P_{sb}=\frac{1}{2}*a*h_b
P_{sb}=\frac{1}{2}*4*h_s
\frac{1}{2}*3*h_b=\frac{1}{2}*4*h_s
h_s=\frac{3}{4}h_b
h_b{^2}=H^2+y^2
$h_b{^2}=(\sqrt{13})^2+(\frac{\sqrt3}{2})^2$3
h_b{^2}=13+\frac{3}{4}=\frac{52+3}{4}=\frac{55}{4}
h_b=\frac{\sqrt{55}}{2}
h_s=\frac{3}{4}*\frac{\sqrt{55}}{2}=\frac{3\sqrt{55}}{8}
sin\frac{x}{2}=\frac{3}{2*\frac{3\sqrt{55}}{8}}=\frac{4}{\sqrt{55}}\approx\frac{4}{7,42}\approx 0,5391
\frac{x}{2}\approx32st30min
x\approx65st