Dziedzina
x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in C
i
x\neq \frac{\pi}{4}+n\frac{\pi}{2}, n \in C
Wzór
tg2x=\frac{2tgx}{1-tg^x}
wpisujemy do nierówności początkowej
\frac{2tgx}{1-tg^2x}<tgx
tgx=t,
\frac{2t}{1-t^2}-t<0
t^2\neq1, to t\neq1, t\neq-1
\frac{2t}{1-t^2}-\frac{(1-t^2)*t}{1-t^2}<0
\frac{2t-t+t^3}{1-t^2}<0
\frac{t^3+t}{1-t^2}<0
(t^3+t)(1-t^2)<0
t(1+t^2)(1-t)(1+t)<0
Miejsca zerowe
t_1=0
t_2=1
t_3=-1
Punkty zaznaczamy na osi kółka otwarte
t\in(-1;0)\cup(1;\infty)
tgx\in(-1;0)\cup(1;\infty)
Dalej korzystamy z wykresu funkcji tgx w przedziale podanym w treści zadania
Mamy ostateczny wynik:
x\in(-\frac{\pi}{4};0)\cup(\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2})