16 zad.
Łączę końce cięciwy (lustra wody-niebieski odcinek) ze środkiem okręgu. Ramionami trójkąta są promienie okręgu. Kąt między promieniami równa się 120^\circ.
Pole wycinka koła P_w minus pole trójkąta równa się pole powierzchni wody w beczce leżącej.
P_w=\\frac{\\alpha}{360^\\circ}*\\pi r^2
P_t=\\frac{1}{2}r*r*sin\\alpha=\\frac{r^2*sin\\alpha}{2}
P_o-P_t=\\frac{\\alpha}{360^\\circ}*\\pi r^2-\\frac{r^2*sin\\alpha}{2}
P_o=\\frac{\\alpha}{360^\\circ}*\\pi r^2-\\frac{r^2*sin\\alpha}{2} pole odcinka koła
http://www.math.edu.pl/Pole odcinka koła
$\alpha=2*60^\circ=120^\circ $suma katów 2 trójkątów równobocznych między promieniami.
P_o=\\frac{120^\\circ}{360^\\circ}*\\pi r^2-\\frac{r^2*sin120^\\circ}{2}=\\frac{\\pi r^2}{3}-\\frac{r^2*\\frac{\\sqrt3}{2}}{2}=\\frac{\\pi r^2}{3}-\\frac{\\sqrt3r^2}{4}=\\frac{4\\pi r^2-3\\sqrt3 r^2}{12} pole odcinka koła
H_1=1,5m=\\frac{3}{2}
V_w=P_o*H_1=\\frac{(4\\pi r^2-3\\sqrt3 r^2)*\\frac{3}{2}}{12}=\\frac{(4\\pi r^2-3\\sqrt3 r^2)*3}{24}=\\frac{12\\pi r^2-9\\sqrt3r^2}{24}=\\frac{3r^2(4\\pi -3\\sqrt3)}{24}
V_w=\\frac{r^2(4\\pi-3\\sqrt3)}{8} objętość wody (nie zmieni się po postawieniu beczki)
V=\\pi r^2*H_2
\\pi r^2*H_2=\\frac{r^2(4\\pi-3\\sqrt3)}{8} |:r^2
\\pi*H_2=\\frac{4\\pi-3\\sqrt3}{8} |:\pi
H_2=\\frac{4\\pi-3\\sqrt3}{8\\pi}=\\frac{1}{2}-\\frac{3\\sqrt3}{8\\pi}
H_2\\approx 0,3m <–odpowiedź
17 zad.
b) Wysokość jest ta sama, średnica podstawy walca to krawędź podstawy graniastosłupa opisanego i przekątna podstawy wpisanego, więc Vo/Vw=Spo⋅H podzielić na Spw⋅H=r2podzielić na 1/2r2=2
a)r=1/2a
R=1/2d
d=przekątna równoległoboku
d=a \sqrt{2}
R= a \sqrt{2} /2
V1/v2= \pi R kwadrat . H/ \pi r kwadrat. h= 2