a,b,c krawędzie prostopadłościanu
d przekątna prostopadłościanu
x - wspólna część podziału
a=2x
b=3x
c=4x
V=abc=2x*3x*4x=24x^3
Promień kuli opisanej na prostopadłościanie jest równy połowie przekątnej d
wzór na d
d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=
=\sqrt{4x^2+9x^2+16x^2}=\sqrt{29x^2}=x\sqrt{29}
R=\frac{1}{2}d=\frac{x\sqrt{29}}{2}
stosunek objętości:
\frac{V_{pros.}}{V_{kuli}}=\frac{24x^3}{\frac{4}{3}\pi (\frac{x\sqrt{29}}{2})^3}=\frac{24x^3}{\frac{4}{3}*\frac{\pi x^3\sqrt{29^2*29}}{8}}=
=\frac{24x^3}{\frac{\pi x^3*29\sqrt{29}}{6}}=\frac{24*6}{29\sqrt{29}\pi}=
=\frac{144}{29\sqrt{29}\pi}*\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}=\frac{144\sqrt{29}}{841\pi}