P=30
S(\frac{9}{2} ,5)
-x+2y+2=0
Dla ułatwienia oznaczmy boki prostokąta przez a,b
AB=CD=a
AD=BC=b
Obliczamy odległość punktu symetrii od prostej na której leży bok a prostokąta. Jest ona połową boku b
d=\frac{|(-1)*\frac{9}{2}+2*5+2|}{\sqrt{(-1)^2+2^2}}=\frac{|-\frac{9}{2}+10+2|}{\sqrt{1+4}}=\frac{\frac{15}{2}}{\sqrt5}*\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=\frac{3}{2}\sqrt5
b=2d=2*\frac{3}{2}\sqrt5=3\sqrt5
P=a*b
a*3\sqrt5=30
a=\frac{30}{3\sqrt5}*\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=2\sqrt5
Wyznaczmy teraz prostą prostopadłą do danej prostej przechodząca przez punkt S i przez środek boku a.
y=\frac{1}{2}x-1| jest to równanie kierunkowe zadanej prostej
a_1=-\frac{1}{a}
y=-2x+b| równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej
5=-2*\frac{9}{2}+b
b=5+9
b=14
Szukamy współrzędnych śroka boku a, czyli punktu przecięcia się tych prostych
y=-2x+14
y=\frac{1}{2}x-1
----------------------------------
-2x+14=\frac{1}{2}x-1 | *2
-4x+28=x-2
-5x=-30
x=6
y=-2*6+14
y=2
Oznaczmy ten punkt przez D(6,2)
|AD|=|DB|=\frac{a}{2}
|AD|=\frac{2\sqrt5}{2}=\sqrt5
|AD|=\sqrt{(x_D-x_A)^2+(y_D-y_A)^2}
Ale punkt A leży na prostej:y=\frac{1}{2}x-1
y_A=\frac{1}{2}x_A-1
\sqrt5=\sqrt{(6-x_A)^2+[2-(\frac{1}{2}x_A-1)]^2}
5=(6-x_A)^2+(2-\frac{1}{2}x_A+1)^2
5=36-12x_A+x_A{^2}+9-3x_A+\frac{1}{4}x_A{^2}
\frac{5}{4}x_A{^2}-15x_A+40=0 | *4/5
x_A{^2}-12x_A+32=0
\Delta=(-12)^2-4*32=144-128=16
\sqrt\Delta=4
x_{A_1}=\frac{12-4}{2}=4
x_{A_2}=\frac{12+4}{2}=8
y_{A_1}=\frac{1}{2}*4-1=1
y_{A_2}=\frac{1}{2}*8-1=3
A_1| Są współrzędnymi wierxchołka A natomiast
A_2 | Są współrzędnymi wierxchołka B
A(4,1)$
B(8,3)
Wyznaczam prostą prostopadłą do zadanej prostej biegnącą przez punkt B
3=-2*8+b
b=19
y=-2x+19
Na tej prostej leży punkt C oddalony od punktu B o długość boku prostokąta
3\sqrt5=\sqrt{(x_c-8)^2+(y_c-3)}
3\sqrt5=\sqrt{(x_c-8)^2+(-2x_c+19-3)}| ^2
9*5=x_c{^2}-16x_c+64+4x_c{^2}-64x_c+256
5x_c{^2}-80x_c+275=0 | /5
x_c{^2}-16x_c+55=0
\Delta=(-16)^2-4*55=256-220=36
\sqrt\Delta=6
x_{c_1}=\frac{16-6}{2}=5
x_{c_2}=\frac{16+6}{2}=11
y_{c_1}=-2*5+19=-10+19=9
y_{c_2}=-2*11+19=-22+19=-3
Punkt owspółrzędnych (11,-3) sprzeczny z treścią zadania
C(5,9)
Wyznaczam prostą przechodząca przez punkt C i rónnoległą
9=\frac{1}{2}*5+b
b=\frac{13}{2}
y=\frac{1}{2}*x+\frac{13}{2}
Oraz prostą prostopadłą do zadanej prostej przechodzącą przez punkt A. Przecięcie się tych dwóch prostych wyznaczyna punkt D.
1=-2*4+b
b=9
y=-2x_d+9
y=\frac{1}{2}*x_d+\frac{13}{2}
-----------------------------
-2x_d+9=\frac{1}{2}*x_d+\frac{13}{2} |*2
-4x_d+18=x_d+13
5x_d=5
x_d=1
y_d=-2*1+9
y_d=7
Odpowiedź:
A(4,1), B((8,3),C(5,9)D(1,7)