Zadanie 3
Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f(x) = a x^{2} + bx + 1 dla x\in R.
a) Wyznacz wzór tej funkcji tak, aby f(–1) = –3 i f(4) = – 3.
a)
f(x) = a x^{2} + bx + 1
układ równań
-3=a*(-1)^2+b*(-1)+1
-3=a*4^2+b*4+1
-----------
-3=a-b+1
-3=16a+4b+1
-----------
-4=a-b
-4=16a+4b|:4
-----------
-4=a-b
-1=4a+b
dodaję stronami
-5=5a|:5
a=-1
-4=a-b
-4=-1-b
-3=-b|*(-1)
b=3
f(x)=-x^2+3x+1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)%3D-x^2%2B3x%2B1
b)
Dla wyznaczonych współczynników a i b, wyznacz największą wartość funkcji w przedziale domkniętym <1, 2>.
f(x)=-x^2+3x+1
a=-1, b=3, c=1 ramiona paraboli skierowane w dół
<1,2>
wierzchołek paraboli
p=\frac{-b}{2a}=\frac{-3}{-2}=1\frac{1}{2} należy do przedziału
q=f(1,5)=-(1,5)^2+3*1,5+1=-2,25+4,5+1=3,25=3\frac{1}{4}
W=(1\frac{1}{2},3\frac{1}{4})
Największą wartość funkcja osiąga w wierzchołku paraboli.
f_{max}=3\frac{1}{4} dla argumentu x=1\frac{1}{2}