Zadanie 18 Wykaż, że podana nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich x i y. a) 2xy\leq x^2+y^2 b) \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}
źródło:
a) 2xy\leq x^2+y^2
-x^2+2xy-y^2\leq 0 |*(-1)
x^2-2xy+y^2\geq0
(x-y)^2\geq0
b) \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}|*2
x+y\geq2\sqrt{xy}
x-2\sqrt{xy}+y\geq0
(\sqrt x)^2-2\sqrt{xy}+(\sqrt y)^2\geq0
(\sqrt x-\sqrt y)^2\geq0