a_1=5
r=2
1)
a_n=a_1+(n-1)*r
a_n=5+(n-1)*2
a_n=5+2n-2
a_n=3+2n
2)
S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n=\frac{5+3+2n}{2}*n=\frac{8+2n}{2}*n=(4+n)*n
S_n=n^2+4n
3)
\frac{1}{3}(S_n-a_n)=a_n|*3
S_n-a_n=3a_n
S_n=4a_n
n^2+4n=4(3+2n)
n^2+4n=12+8n
n^2-4n-12=0 założenie n\in N
a=1, b=-4, c=-12
\Delta=b^2-4ac=16-4*(-12)=16+48=64
\sqrt\Delta=8
n_1-\frac{4-8}{2}=-2\not \in N
n_2=\frac{4+8}{2}=6
n = 6 wyrazów ciągu
4)
a_6=3+2n=3+2*6=15 ostatni wyraz ciągu
S_6=\frac{5+15}{2}*6=10*6=60 Suma 6 wyrazów ciągu