Zadanie 1
Zadanie 1 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 10, a wysokosć 15. Oblicz pole powierzchni ostrosłupa, kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy, kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.
a=10
H=15
h_\Delta=\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{10\sqrt3}{2}=5\sqrt3 wysokość podstawy (trójkąta równobocznego)
-------------
\frac{2}{3}h_\Delta i wysokość H to przyprostokątne, krawędź boczna c przeciwprostokątna trójkąta.
1)
Z twierdzenia Pitagorasa:
(\frac{2}{3}h_\Delta)^2+H^2=c^2
(\frac{2}{3}*5\sqrt3)^2+15^2=c^2
(\frac{10\sqrt3}{3})^2+225=c^2
\frac{100*\not3^1}{\not9^3}+225=c^2
\frac{100}{3}+\frac{675}{3}=c^2
c^2=\frac{775}{3}
c=\sqrt{\frac{775}{3}}
c=\sqrt{\frac{25*31}{3}}
c=5\sqrt{\frac{31}{3}}
c=\frac{5\sqrt{31}*\sqrt3}{\sqrt3*\sqrt3}
c=\frac{5\sqrt{93}}{3} krawędź boczna
-------------
\frac{H}{c}=sin\alpha
\frac{15}{\frac{5\sqrt{93}}{3}}=sin\alpha
\not15^3*\frac{3}{\not5^1\sqrt{93}}=sin\alpha
\frac{9}{\sqrt{93}}=sin\alpha
sin\alpha\approx 0,9333
\alpha\approx 69^0 kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy
2)
(\frac{1}{2}a)^2+{h_b}^2=c^2
(\frac{1}{2}*10)^2+{h_b}^2=(\frac{5\sqrt{93}}{3})^2
25+{h_b}^2=\frac{25*\not93^{31}}{\not9^3}
25+{h_b}^2=\frac{775}{3}
{h_b}^2=\frac{775}{3}-\frac{75}{3}
{h_b}^2=\frac{700}{3}
h_b=\sqrt{\frac{700}{3}}
h_b=\frac{\sqrt{700}*\sqrt3}{\sqrt3*\sqrt3}
h_b=\frac{\sqrt{2100}}{3}=\frac{\sqrt{100*21}}{3}
h_b=\frac{10\sqrt{21}}{3} wysokość ściany bocznej
------------
\frac{H}{h_b}=sin\beta
\frac{15}{\frac{10\sqrt{21}}{3}}=sin\beta
\not15^3*\frac{3}{\not10^2\sqrt{21}}=sin\beta
\frac{9}{2\sqrt{21}}=sin\beta
sin\beta\approx0,9820
\beta\approx 79^0 kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy
3)
P_p=P_\Delta=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{10^2\sqrt3}{4}=\frac{100\sqrt3}{4}=25\sqrt3 pole podstawy
P_s=\frac{1}{2}a*h_b=\frac{1}{\not2^1}*\not10^5*\frac{10\sqrt{21}}{3}=\frac{50\sqrt{21}}{3} pole ściany bocznej
P_b=3*\frac{50\sqrt{21}}{3}=50\sqrt{21} powierzchnia boczna
P_c=P_p+P_b=25\sqrt3+50\sqrt{21} pole powierzchni ostrosłupa
P_c\approx272,4