Odcięte 4 trójkąty tworzą 2 kwadraty o boku x i przekątnej x\sqrt2. (1)
x – ramię odciętego trójkąta równoramiennego
x+x\sqrt2+x=4 , gdzie x\sqrt2 jest tego podstawą trójkąta i bokiem ośmiokąta
2x+x\sqrt2=4
x(2+\sqrt{x})=4
x=\frac{4}{2+\sqrt2}=\frac{4(2-\sqrt2)}{(2+\sqrt2)(2-\sqrt2)}=\frac{4(2-\sqrt2)}{{2^2-(\sqrt2)^2}}=\frac{4(2-\sqrt2)}{4-2}=
=\frac{\not4^2(2-\sqrt2)}{\not2^2}=2(2-\sqrt2)=4-2\sqrt2 ramię odciętego trójkąta (2)
------------
Pole ośmiokąta równa się pole kwadratu o boku 4 minus pole dwóch kwadratów o boku x.
4*P_\Delta=2*x^2 pole odciętych 4 trójkątów , patrz (1)
P=4^2-2*x^2=16-2(4-2\sqrt2)^2=16-2[16-2*4*2\sqrt2+(2\sqrt2)^2]=
=16-2(16-16\sqrt2+4*2)=16-2(24-16\sqrt2)=16-48+32\sqrt2=
=32\sqrt2-32=32(\sqrt2-1) co należało uzasadnić
II sposób
II sposób
x=4-2\sqrt2 patrz (2)
a=x\sqrt2=(4-2\sqrt2)*\sqrt2=4\sqrt2-2*2=4\sqrt2-4=4(1-\sqrt2 bok ośmiokąta
P_0=2a^2(1+\sqrt2) wzór na pole ośmiokąta
a=x\sqrt2=(4-2\sqrt2)*\sqrt2=4\sqrt2-2*2=4\sqrt2-4=4(\sqrt2-1) ramię ośmiokąta
P_0=2[ 4(\sqrt{2}-1)^2 ](1+\sqrt{2})=2[4(\sqrt2-1)^2*(1+\sqrt2)]=
=2[16(2-2\sqrt2+1)](1+\sqrt{2})=2*16(3-2\sqrt{2})(1+\sqrt2)=
=32(3+3\sqrt2-2\sqrt2-2*2)=32[\sqrt2-(-1)]=32(\sqrt2+1) c.n.u.