Ciąg jest arytmetyczny, jeśli różnica a_{n+1}-a_n równa się const. , jest stała, niezależna od n.
a)
a_n=\frac{n+1}{3}
a_{n+1}-a_n=\frac{n+1+1}{3}-\frac{n+1}{3}=\frac{n+2}{3}-\frac{n+1}{3}=\frac{n+2-(n+1)}{3}=\frac{n+2-n-1}{3}=\frac{1}{3} wynik bez n - jest to ciąg arytmetyczny
b)
a_n=n^2-1
a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-1-(n^2-1)=n^2+2n+1-1-n^2+1=2n+1 ciąg nie jest arytmetyczny
Łatwo można sprawdzić.
a_1=1^2-1=0
a_2=2^2-1=3
a_3=3^2-1=8
a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} własność ciągu arytmetycznego
a_2=\frac{a_1+a_3}{2}
\frac{0+3}{2}=2
\frac{3}{2}=2 sprzeczność