b)
Obliczyć wartość różnicy a_{n+1}-a_n.
a_{n+1}-a_n\textgreater0 ciąg rosnący
a_{n+1}-a_n<0 ciąg malejący
a_{n+1}-a_n<0 ciąg stały
a_n=\frac{2n^2-7n}{n+6} …n\in \mathbb N^+
{a_{n+1}=\frac{2(n+1)^2-7(n+1)}{n+1+6}=\frac{2(n^2+2n+1)-7n-7}{n+7}=\frac{2n^2+4n+2-7n-7}{n+7}=\frac{2n^2-3n-5}{n+7}}
a_{n+1}-a_n=\frac{2n^2-3n-5}{n+7}-\frac{2n^2-7n}{n+6}=
=\frac{(2n^2-3n-5)(n+6)-(2n^2-7n)(n+7)}{(n+6)(n+7)}=
=\frac{2n^3+12n^2-3n^2-18n-5n-30-(2n^3+14n^2-7n^2-49n)}{(n+6)(n+7)}=
=\frac{2n^3+12n^2-3n^2-18n-5n-30-2n^3-14n^2+7n^2+49n)}{(n+6)(n+7)}=
=\frac{2n^2+26n-30}{(n+6)(n+7)}
n\in \mathbb N^+ zatem mianownik jest dodatni.
dla n=1
a_{n+1}-a_n=\frac{2*1^2+26*1-30}{(1+6)(1+7)}=\frac{-2}{56}=-\frac{1}{28}<0
n=2
a_{n+1}-a_n=\frac{2*2^2+26*2-30}{(2+6)(2+7)}=\frac{8+52-30}{72}=\frac{30}{72}=\frac{5}{12}>0
dla n\in \langle1;2) ciąg malejący
dla n\in \langle 2;+\infty ) ciąg rosnący
zatem ciąg nie jest monotoniczny.