Zadanie 11
Rozwiąż nierówności
a)
x(x+6)\leq 3(4x-3)
x^2+6x\leq 12x-9
x^2+6x-12x+9\leq0
x^2-6x+9\leq0
a=1>0 ramiona paraboli w górę
(x-3)^2\leq0
x=3 pierwiastek dwukrotny
Wierzchołek paraboli leży na osi x.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x(x%2B6)-12x%2B9%5Cleq+0
b)
-2x^2+5(x+1)<2(x+2)-3x(x-1)
-2x^2+5x+5<2x+4-3x^2+3x
-2x^2+5x+5-2x-4+3x^2-3x<0
x^2+1<0
x_2=-1 sprzeczność . Nie istnieje liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu byłaby liczba ujemną.
Nierówność sprzeczna , brak rozwiązań.
x\in (-1;1)
c)
2x(x-2)-7>4(x+3)
2x^2-4x-7>4x+12
2x^2-4x-7-4x-12>0
2x^2-8x-19>0 \ |:2
a=2, b=-8, c=-19 , a>0
ramiona paraboli w górę
\Delta=b^2-4ac=64-4*2*(-19)=64+152=216
\sqrt\Delta=\sqrt{216}=\sqrt{36*6}=6\sqrt6
x_1=\frac{8-6\sqrt6}{2*2}=\frac{\not2^1(4-3\sqrt6)}{\not2^1*2}=\frac{4-3\sqrt6}{2}
x_2=\frac{8+6\sqrt6}{2*2}=\frac{\not2^1(4+3\sqrt6)}{\not2^1*2}=\frac{4+3\sqrt6}{2}
x\in (-\infty;\frac{4-3\sqrt6}{2}\cup (\frac{4+3\sqrt6}{2};+\infty)
d)
8(x-2) -x(x-2)\geq -16
8x-16-x^2+2x+16\geq0
-x^2+10x\geq0
-x(x-10)\geq0
a=-1<0 ramiona paraboli w dół
-x=0\vee x-10=0
x_1=0 , x=10_2 miejsca zerowe
x\in \langle 0,10\rangle
Zadanie 12
Doprowadź wzór funkcji kwadratowej f do postaci kanonicznej, stosując wzory na wspólrzędne wierzchołka paraboli, jeśli:
a)
f(x)=-x^2-6x-7
a=-1, b=-6, c=-7
\Delta=b^2-4ac=36-4*(-1)*(-7)=36-28=8
p=-\frac{b}{2a}=\frac{-(-\not6^3)}{\not2^1*(-1)}=\frac{3}{-1}=-3
q=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{\not8^2}{\not4^1*(-1)}=\frac{-2}{-1}=2
W=(-3,2) <-- odpowiedź
b)
f(x)= \frac{1}{2} x^2 + 4x + 5
a=1/2 , b=4, c=5
\Delta=b^2-4ac=16-\not4^2*\frac{1}{\not2^1}*5=16-10=6
p=-\frac{b}{2a}=\frac{-4}{2*\frac{1}{\not2^1}}=\frac{-4}{1}=-4
q=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{6}{\not6^3*\frac{1}{\not2^1}}=-\frac{3}{1}=-3
W=(p,q)=(-1,-3) <-- odpowiedź
Zadanie 13
Oblicz miary kątów równoległoboku, w którym miara jednego z dwóch kolejnych kątów jest o 38^\circ więkksza od miary drugiego kąta.
2\alpha+2\beta=360^{\circ} \ |:2
\left \{ {{\alpha+\beta=180^{\circ}} \atop {\beta=\alpha+38^{\circ}}} \right.
podstawiam do I równania kąt \beta
\alpha+\alpha+38^{\circ}=180^{\circ}
2\alpha=180^{\circ}-38^{\circ} \ |:2
\alpha=90^{\circ}-19^{\circ}
\alpha=71^{\circ}
\beta=\alpha+38^{\circ}=71^{\circ}+38^{\circ}=109^{\circ}
Odpowiedź:
\alpha=71^{\circ} , \beta=109^{\circ}