Zadanie 1
a)
\frac{2}{x}=\frac{2x+1}{2} mnożę “na krzyż” założenie x\ne0 \ , \ D=\mathbb R\backslash \{0\}
x(2x+1)=4
2x^2+x-4=0
a=2, b=1, c=-4
\Delta=b^2-4ac=1-4*2*(-4)=33
x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-1-\sqrt{33}}{42*2}=\frac{-1-\sqrt{33}}{4}
x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-1+\sqrt{33}}{42*2}=\frac{\sqrt{33}-1}{4}
b)
\frac{2x+1}{2}=\frac{x}{2x-2} zał. 2x-2\ne0=>2x\ne2=>x\ne1 \ , \ D=\mathbb R\backslash \{1\}
(2x+1)(2x-2)=2x
4x^2-4x+2x-2-2x=0
4x^2-4x-2=0 \ |:2
2x^2-2x-1=0
a=2, b=-2, c=-1
\Delta=b^2-4ac=4-4*2*(-1)=12
\sqrt\Delta=\sqrt{12}=\sqrt{4*3}=2\sqrt3
x_1=\frac{2-2\sqrt3}{2*2}=\frac{\not2^1(1-\sqrt3)}{\not2^1*2}=\frac{1-\sqrt3}{2}
x_2=\frac{2+2\sqrt3}{2*2}=\frac{\not2^1(1+\sqrt3)}{\not2^1*2}=\frac{1+\sqrt3}{2}
c)
\frac{x+1}{x-2}=\frac{5+2x}{1} , zał. x\ne 2 \ , \ D=\mathbb R\backslash \{2\}
(x-2)(5+2x)=x+1
5x+2x^2-10-4x-x-1=0
2x^2-11=0
2x^2-11=0
2x^2=11 \ |:2
x^2=\frac{11}{2}
x_1=-\sqrt{\frac{11}{2}}=-\frac{\sqrt{11}}{\sqrt2}=-\frac{\sqrt{11}*\sqrt2}{\sqrt2*\sqrt2}=-\frac{\sqrt{22}}{2}
x_1=\sqrt{\frac{11}{2}}=\sqrt{\frac{22}{2}}
d)
\frac{x}{3}+2=\frac{x-1}{2}
\frac{x+6}{3}=\frac{x-1}{2}
3(x-1)=2(x+6)
3x-3=2x+12
x=15
e)
4-\frac{2-x}{x+1}=\frac{3x}{2} zał. x+1\ne 0=>x\ne-1\ , \ D=\mathbb R\backslash \{-1\}
\frac{4(x+1)-(2-x)}{x+1}=\frac{3x}{2}
\frac{4x+4-2+x}{x+1}=\frac{3x}{2}
\frac{5x+2}{x+1}=\frac{3x}{2}
3x(x+1)=2(5x+2)
3x^2+3x=10x+4
3x^2-7x-4=0
a=3, b=-7, c=-4
\Delta=b^2-4ac=49-4*3*(-4)=9+48=97
x_1=\frac{7-\sqrt{97}}{2*3}=\frac{7-\sqrt{97}}{6}
x_2=\frac{7+\sqrt{97}}{6}
f)
\frac{x}{3}+\frac{x+1}{x-4}=\frac{2}{3} zał. x-4\ne 0=>x\ne 4 \ , \ D=\mathbb R\backslash \{4\}
\frac{x(x-4)+3(x+1)}{3(x-4)}=\frac{2}{3}
\frac{x^2-4x+3x+3}{3x-12}=\frac{2}{3}
3(x^2-x+3)=2(3x-12)
3x^2-3x+9=6x-24
3x^2-3x+33=0 \ |:3
x^2-x+11=0
a=1, b=-1, c=11
\Delta=b^2-4ac=1-4*1*11=-43 brak rozwiązań
g)
\frac{3x}{2}=\frac{2x-1}{4}+\frac{2}{x+1} zał. x+1\ne0=> x\ne-1 \ , \ D=\mathbb R\backslash \{-1\}
\frac{3x}{2}=\frac{(2x-1)(x+1)+2*4}{4(x+1)}
\frac{3x}{2}=\frac{2x^2+2x-x-1+8}{4x+4}
\frac{3x}{2}=\frac{2x^2+x+7}{4x+4}
3x(4x+4)=2(2x^2+x+7)
12x^2+12x=4x^2+2x+14
8x^2+10x-14=0 | :2
4x^2+5x-7=0
a=4, b=5, c=-7
\Delta=b^2-4ac=25-4*4*(-7)=137
\sqrt\Delta=\sqrt{137}
x_1=\frac{-5-\sqrt{137}}{2*4}=\frac{-5-\sqrt{137}}{8}
x_2=\frac{-5+\sqrt{137}}{2*2}=\frac{\sqrt{137}-5}{8}