a)
2x^2-3x-2\leq 0 -3x = -4x+x zamieniam na postać iloczynową f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
a=2>0 ramiona paraboli skierowane w górę
2x^2-4x+x-2\leq0
2x(x-2)+(x-2)\leq 0
(x-2)(2x+1)\leq 0
Wyznaczam miejsca zerowe
I sposób
2x^2-3x-2\leq 0
a=2, b=-3, c=-2
\Delta=b^2-4ac=9-4\cdot 2\cdot (-2)=9+16=25
\sqrt\Delta=5 , \Delta>0
2 miejsca zerowe
x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{3-5}{2\cdot 2}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}
x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{3+5}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2
x_1=-\frac{1}{2} , x_2=2 należą do przedziału
x\geq-\frac{1}{2} , x\leq2
x\in \langle -\frac{1}{2};2\rangle przedział obustronnie domknięty - kółeczka na osi zamalowane
II sposób na wyznaczenie miejsc zerowych
(x-2)(2x+1)=0
(2x+1)(x-2)=0
2(x+\frac{1}{2})(x-2)=0
x_1=-\frac{1}{2} , x_2=2
b)
-x^2+3x-2 < 0
a = -1, b = 3, c = -2
a < 0 ramiona paraboli skierowane w dół
\Delta=3^2-4\cdot (-1)*(-2)=9-8=1
\sqrt\Delta=1
x_1=\frac{-3-1}{2\cdot (-1)}=\frac{-4}{-2}=2
x_2=\frac{-3+1}{2\cdot (-1)}=\frac{-2}{-2}=1
x_1=2 , x_2=1 miejsca zerowe, nie należą do przedziału (nawiasy okrągłe, kółeczka 2 i 1 niezamalowane)
x<1 i x>2
x\in (-\infty;1)\cup (2;+\infty)
www.wolframalpha.com/input/?i=-x^2%2B3x-2+<+0
II sposób na wyznaczenie miejsc zerowych
-x^2+3x-2 < 0 \ |*(-1) , [sprowadzam do postaci iloczynowej f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)]
x^2-3x+2<0 , -3x = -x-2x
x^2-x-2x+2<0
x(x-1)-2(x-1)<0
(x-1)(x-2)<0
x_1=1 , x_2=2 m. zerowe